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Frações e Dízimas

Divisão de Frações

Para dividir duas frações, seguem-se três passos:

1) Inverte-se o numerador e o denominador da segunda fração.
2) Multiplica-se o número de cima de uma pelo número de cima da outra.
3) Multiplica-se o número de baixo de uma pelo número de baixo da outra.

$\dfrac{2}{5} \div \dfrac{\style{color:red;}{3}}{\style{color:blue;}{4}} \ \ = \ \ \dfrac{2}{5} . \dfrac{\style{color:blue;}{4}}{\style{color:red;}{3}} \ \ = \ \ \dfrac{2.\style{color:blue;}{4}}{5.\style{color:red;}{3}} \ \ = \ \ \dfrac{8}{15}$

Por que este método funciona? Para responder essa pergunta, primeiro temos que entender algo que está implícito na cabeça das pessoas quando elas pensam em divisão:

Quando as pessoas pensam em divisão elas pensam em simplificar a fração para denominador 1.

Quando perguntamos para alguém quanto é 16 maçãs divididas para 2 pessoas, esta pessoa irá nos responder: 8 maçãs.

Esta pessoa assumiu que nós perguntamos algo que na verdade não perguntamos. Ela assumiu que queremos saber a quantidade de maçãs para cada uma pessoa.

Veja que uma outra resposta perfeitamente válida para a pergunta é: cada 2 pessoas irá receber 16 maçãs.

Embora a resposta acima parece meio redundante, ela está correta. Veja que as frações abaixo são equivalentes:

$ \dfrac{16}{2} = \dfrac{8}{1} $

A pessoa simplificou a fração 16/2 para uma fração equivalente de denominador 1.

Na verdade, há infinitas respostas válidas:

$\dfrac{8}{1} = \dfrac{16}{2} = \dfrac{32}{4} = \dfrac{64}{8} = \dfrac{128}{16} = \ ...$

A fonte da confusão é em razão da pergunta Quanto é 8 maçãs divididas para 2 pessoas? ser uma pergunta vaga. Vamos perguntar de uma forma mais clara:

Pergunta: Quantas maçãs cada uma pessoa vai receber se dividirmos 16 maçãs para cada 2 pessoas?

Resposta: Cada uma pessoa irá receber 8 maçãs.

Pergunta: Quantas maçãs cada 2 pessoas vão receber se dividirmos 16 maçãs para cada 2 pessoas?

Resposta: Cada 2 pessoas irão receber 16 maçãs.

Pergunta: Quantas maçãs cada 4 pessoas vão receber se dividirmos 16 maçãs para cada 2 pessoas?

Resposta: Cada 4 pessoas irão receber 32 maçãs.

Agora vamos utilizar esta pergunta para entender divisão por números menores que 1. Veja o exemplo abaixo:

Pergunta: Quantas maçãs cada uma pessoa vai receber se dividirmos 4 maçãs para cada 1/2 pessoa?

Resposta: Uma pessoa é formado por dois 1/2 de pessoa, então cada uma pessoa vai receber 8 maçãs.

$\dfrac{\hspace{1em} 4 \hspace{1em}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{8}{1}$

Vamos ver outro caso de divisão por menos de 1:

Pergunta: Quantas maçãs cada uma pessoa vai receber se dividirmos 5 maçãs para cada 1/3 de pessoa?

Resposta: Uma pessoa é formado por três 1/3 de pessoa, então cada uma pessoa vai receber 15 maçãs.

Entendendo o método de divisão de frações:

Nos exemplos acima de divisão por números menores que 1, os números eram fáceis de calcular, porém, imagine o exemplo abaixo:

Quanto é 2/5 de um terreno dividido para 3/4 de uma pessoa?

Uma resposta válida é: Cada 3/4 de uma pessoa irá receber 2/5 de um terreno. Veja a resposta válida em fração:

$\dfrac{\hspace{1em} \dfrac{2}{5} \hspace{1em} }{\dfrac{3}{4}}$

Agora, vamos fazer a nossa pergunta:

Pergunta: Quanto de um terreno cada uma pessoa vai receber se dividirmos 2/5 de um terreno para cada 3/4 de uma pessoa?

Para chegar no valor de "1" pessoa, vamos primeiro descobrir a quantidade de terreno para 1/4 de pessoa e depois multiplicar por 4.

Se 2/5 do terreno vai para 3/4 de pessoa, então 2/5 do terreno dividido por 3 irá para 1/4 de pessoa. Veja:

2/5 de um terreno:

Vamos dividir cada pedaço em 3 partes:

Agora temos 6 pedaços do total. Dividido por 3, temos 2 pedaços:

Ou seja, 2/15 do terreno vai para 1/4 de pessoa.

Veja que é nessa etapa que se explica o porquê de multiplicarmos o numerador da 2ª fração pelo denominador da 1ª fração.

Agora, multiplicamos por 4 para encontrarmos a quantidade de terreno para 1 pessoa. É nesse etapa que se explica o porquê de multiplicarmos o denominador da 2ª fração pelo numerador da 1ª fração.

2/15 vezes 4 é igual a 8/15:

Veja o cálculo:

Observe que de fato o que fizemos foi simplesmente encontrar uma fração equivalente de denomidador 1:

$\dfrac{\hspace{1em} \dfrac{2}{5} \ de \ um \ terreno \hspace{1em} }{\dfrac{3}{4} \ de \ uma \ pessoa} = \dfrac{\hspace{1em} \dfrac{8}{15} \ de \ um \ terreno \hspace{1em} }{\dfrac{4}{4} \ de \ uma \ pessoa} = \dfrac{\hspace{1em} \dfrac{8}{15} \ de \ um \ terreno \hspace{1em} }{1 \ inteiro \ de \ uma \ pessoa}$