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Matrizes



1. Legenda

$A, \ B, \ C$ $:$ matrizes
$a_{ij}, \ b_{ij}$ $:$ elementos da matriz
$det(A)$ $:$ determinante de uma matriz
$A^{T}$ $:$ matriz transposta
$-A$ $:$ matriz oposta
$A^{-1}$ $:$ matriz inversa
$I$ $:$ matriz identidade
$Cof(A)$ $:$ matriz de cofatores
$\overline{A}, \ Adj(A)$ $:$ matriz adjunta
$D_{ij}$ $:$ menor complementar
$A_{ij}$ $:$ cofator
$k$ $:$ constante
2. Definição de matriz

Uma matriz é uma tabela para organização de dados numéricos com $m$ linhas e $n$ colunas $(A_{mxn})$.

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{bmatrix}
3. Adição e subtração de matrizes

Para somarmos ou subtrairmos duas matrizes, devemos somar ou subtrair os termos correspondentes.

Exemplo:

Calcular a adição e subtração das matrizes $A$ e $B$ abaixo:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \hspace{5 em} B = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 3 \\ \end{bmatrix} \]

Adição:

\[ A+B = \begin{bmatrix} 1+3 & 2+5 & 5+1 \\ 2+0 & 1+2 & 2+5 \\ 5+3 & 3+4 & 1+3 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \hspace{-5em} A+B = \begin{bmatrix} 4 & 7 & 6 \\ 2 & 3 & 7 \\ 8 & 7 & 4 \\ \end{bmatrix} \]

Subtração:

\[ A-B = \begin{bmatrix} 1-3 & 2-5 & 5-1 \\ 2-0 & 1-2 & 2-5 \\ 5-3 & 3-4 & 1-3 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \hspace{-2.8em} A-B = \begin{bmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 2 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \]

Observação:

Só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem.
4. Multiplicação de matrizes

Exemplo:

Multiplicar as matrizes $A$ e $B$ abaixo:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \hspace{5 em} B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \hspace{-7em} AxB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} x \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \]

\[ AxB = \begin{bmatrix} 1x3+2x0+5x3 & 1x5+2x2+5x4 \\ 2x3+1x0+2x3 & 2x5+1x2+2x4 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \hspace{-9.5em} AxB = \begin{bmatrix} 18 & 29 \\ 12 & 20 \\ \end{bmatrix} \]

Descrição da resolução:

1º Multiplicamos os elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos da primeira coluna da segunda matriz e somamos os produtos para obtermos o primeiro elemento da nova matriz $(18)$.

2º Multiplicamos os elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos da segunda coluna da segunda matriz e somamos os produtos para obtermos o segundo elemento da nova matriz $(29)$.

3º Multiplicamos os elementos da segunda linha da primeira matriz pelos elementos da primeira coluna da segunda matriz e somamos os produtos para obtermos o terceiro elemento da nova matriz $(12)$.

4º Multiplicamos os elementos da segunda linha da primeira matriz pelos elementos da segunda coluna da segunda matriz e somamos os produtos para obtermos o quarto elemento da nova matriz $(20)$.

Observação:

1. Só podemos multiplicar matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

2. Na multiplicação de matrizes não é válido a lei do anulamento do produto, pois podemos ter $A.B = 0$, mesmo com $A \neq 0$ e $B \neq 0$.

3. Na multiplicação de matrizes não é válido a lei do cancelamento, pois podemos ter $A.B=A.C$, mesmo com $B \neq C$ e $A \neq 0$.
5. Matriz identidade $(I)$

É a matriz quadrada que possui todos os termos da diagonal principal iguais a $1$, e todos os demais termos iguais a zero.

\[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]
6. Matriz oposta $(-A)$

A matriz oposta da matriz $A$ é a matriz $ \ –A$, portanto para encontrarmos o oposto de uma matriz basta trocarmos o sinal de todos os seus elementos.

Exemplo:

Calcular a matriz oposta da matriz $A$ abaixo:

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 5 & -3 & -4 \\ \end{bmatrix} \]

Simplesmente vamos reescrever a matriz dada, trocando os sinais dos elementos para encontrar a matriz oposta.

\[ -A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & -5 \\ -2 & -6 & -8 \\ -5 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \]
7. Matriz transposta $\left( A^{T} \right)$

Para obtermos uma matriz transposta devemos reescrever as linhas como colunas.

Exemplo:

Calcular a matriz Transposta da matriz $A$ abaixo.

\[ A_{2x3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \]

\[ A^{T} = A_{3x2} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \\ \end{bmatrix} \]

Propriedades da matriz transposta

$(A^{T})^{T} = A$

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

$(A.B)^{T}=B^{T}.A^{T}$
8. Matriz simétrica

Uma matriz é simétrica quando a matriz transposta é igual à original $(A^{T}=A)$.

\[ A = \begin{bmatrix} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{bmatrix} \hspace{2 em} \rightarrow \hspace{2 em} A^{T} = \begin{bmatrix} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{bmatrix} \]
9. Matriz anti-simétrica

Uma matriz é anti-simétrica quando a matriz transposta coincide com a sua matriz oposta $(A^{T}=-A)$.

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & d & e \\ -d & 0 & f \\ -e & -f & 0 \end{bmatrix} \hspace{2 em} \rightarrow \hspace{2 em} A^{T} = \begin{bmatrix} 0 & -d & -e \\ d & 0 & -f \\ e & f & 0 \end{bmatrix} \]
10. Matriz inversa $ \left( A^{-1} \right)$

Dizemos que uma matriz quadrada $(A)$ terá uma matriz inversa $\left( A^{-1} \right)$ se o produto das duas matrizes for igual à matriz identidade $(I)$. Todas as matrizes deverão ser quadradas e de mesma ordem.

$A.A^{-1}=$ $I$

Exemplo:

Calcular a matriz inversa da matriz $A$ abaixo:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ \end{bmatrix} \]

Sabemos que as matrizes deverão ser quadradas e de mesma ordem, portanto:

\[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \hspace{2em} (matriz \ identidade) \]

\[ \hspace{3em} A^{-1} = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} \hspace{2em} (matriz \ inversa \ a \ ser \ calculada) \]

A relação entre as matrizes é:

$A.A^{-1}=I$

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

Realizando a multiplicação obtemos:

\[ \begin{bmatrix} 1.a+2.b & 1.c+2.d \\ 4.a+5.b & 4.c+5.d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

Fazendo a igualdade dos elementos dessas matrizes temos:

\begin{cases} 1a+2b=1 \\ 4a+5b=0 \\ \end{cases}

\begin{cases} 1c+2d=0 \\ 4c+5d=1 \\ \end{cases}

Resolvendo os sistemas de equações acima encontramos:

$a=- \dfrac{5}{3} \hspace{2em} b=\dfrac{4}{3} \hspace{2em} c=\dfrac{2}{3} \hspace{2em} d=-\dfrac{1}{3}$

Portanto a matriz inversa é:

\[ A^{-1}= \begin{bmatrix} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \style{font-size:90%; font-style: normal; font-family: verdana;}{\frac{1}{3}} \\ \end{bmatrix} \]
11. Matriz de Vandermonde (ou das potências)

É uma matriz de ordem $n \geq 2$, em que os elementos de suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro variando de $0$ à $n – 1$, formando uma progressão geométrica.

\[ M = \begin{bmatrix} a_{1}^{0} & a_{2}^{0} & a_{3}^{0} & ... & a_{n}^{0} \\ a_{1}^{1} & a_{2}^{1} & a_{3}^{1} & ... & a_{n}^{1} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & ... & a_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & ... & a_{n}^{n-1} \\ \end{bmatrix} \]

ou

\[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ a_{1}^{1} & a_{2}^{1} & a_{3}^{1} & ... & a_{n}^{1} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & ... & a_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & ... & a_{n}^{n-1} \\ \end{bmatrix} \]
12. Determinante de uma matriz - $det(A)$

Cálculo do determinante de 2ª ordem:

\[ det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} = a_{11}.a_{22}-a_{21}.a_{12} \]
13. Regra de Sarrus

A regra de Sarrus é aplicável para cálculo de determinantes de 3ª ordem. Segue abaixo a forma de cálculo do determinante da matriz $A$:

\[ A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \]

Descrição do cálculo 1° Inicialmente repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz $A$, gerando “três diagonais principais” e “três secundárias”;

2° Multiplicamos os valores dos elementos das diagonais principais mantendo o sinal dos produtos;

3° Multiplicamos os valores dos elementos das diagonais secundárias e trocamos os sinais dos produtos;

4° Finalmente realizamos a adição / subtração entre os produtos para encontrarmos o determinante.
14. Determinante: multiplicação de uma fila por uma constante

A multiplicação de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz $A$ por uma constante $k$, resulta em uma nova matriz cujo determinante será igual a $ \ k.det(A)$.

Exemplo:

Vamos multiplicar a primeira linha da matriz $A$ por $5$ e provar que o determinante dessa nova matriz $B$ será igual a $5.det(A)$.

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

Multiplicando a primeira linha da matriz $A$ por $5$ obtemos a matriz $B$:

\[ B = \begin{bmatrix} 5.3 & 5.2 \\ 4 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \hspace{-0.5em} B = \begin{bmatrix} 15 & 10 \\ 4 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

Agora vamos provar que o $det(B) = 5.det(A)$

\[ \hspace{-3em} det(A) = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{vmatrix} = 3.1-4.2=3-8 \]

$ \hspace{-9.5em} det(A) = \style{color:Crimson}{-5}$

\[ det(B) = \begin{vmatrix} 15 & 10 \\ 4 & 1 \\ \end{vmatrix} = 15.1-4.10=15-40 \]

$ \hspace{2.7em} det(B) = \style{color:Crimson}{-25} \qquad$ (valor correspondente a $5$ vezes o determinante de $A$)

Portanto o $ \ det(B) = 5.det(A) \qquad$ (conforme queríamos demonstrar)
15. Determinante: multiplicação de uma matriz por uma constante

Multiplicando uma matriz $A$ de ordem $n$ por uma constante $k$, o determinante da nova matriz será igual a $ \ k^{n}.det(A)$.

Exemplo:

Vamos multiplicar a matriz $A \ (n=2)$ por $3$ e provar que o determinante da nova matriz será igual a $3^{2}.det(A)$.

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix} \]

Multiplicando a matriz $A$ por $3$ obtemos a matriz $B$:

\[ B = \begin{bmatrix} 3.2 & 3.5 \\ 3.1 & 3.3 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \hspace{-1em} B = \begin{bmatrix} 6 & 15 \\ 3 & 9 \\ \end{bmatrix} \]

Agora vamos provar que o $det(B) = 3^{2}.det(A) = 9.det(A)$

\[ \hspace{-2em} det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \\ \end{vmatrix} = 2.3-1.5=6-5 \]

$ \hspace{-8.8em} det(A)=\style{color:Crimson}{1}$

\[ det(B) = \begin{vmatrix} 6 & 15 \\ 3 & 9 \\ \end{vmatrix} = 6.9-3.15=54-45 \]

$ \hspace{3em} det(B)=\style{color:Crimson}{9} \qquad$ (valor correspondente a $9$ vezes o determinante de $A$)

Portanto o $det(B) = 9.det(A) \qquad$ (conforme queríamos demonstrar)
16. Menor Complementar $(D_{ij})$

Menor complementar de um elemento $a_{ij}$ de uma matriz quadrada é o determinante $D_{ij}$ da matriz obtida com a eliminação da linha e da coluna referente a esse elemento.

Exemplo:

Calcular o menor complementar do elemento $a_{21}=2$ da matriz $A$ abaixo:

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 4 & 9 \\ 1 & -3 & -4 \\ \end{bmatrix} \]

Primeiro vamos eliminar a linha e a coluna referente ao elemento $a_{21}$.

Agora vamos calcular o determinante da nova matriz obtida.

\[ D_{21} = \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ -3 & -4 \\ \end{vmatrix} = (-2).(-4)-(-3).(5) \]

$D_{21}=8-(-15)$

$D_{21}=8+15$

$D_{21}=23 \qquad$ (menor complementar do elemento $a_{21}$)
17. Cofator $(A_{ij})$

O cofator $(A_{ij})$ do elemento $a_{ij}$ de uma matriz $A$ é obtido da seguinte forma:

$A_{ij}=(-1)^{i+j}.D_{ij}$

onde $D_{ij}$ é o menor complementar do elemento $a_{ij}$

Exemplo:

Determine o cofator do elemento $a_{23} \ \left( a_{23}=8 \right) $ da matriz $A$.

\[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 5 & 7 & -4 \\ \end{bmatrix} \]

Primeiro vamos eliminar a linha e a coluna referente ao elemento $a_{23}$.

Vamos calcular o determinante da nova matriz obtida.

\[ \hspace{-1.5em} D_{23} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 7 \\ \end{vmatrix} = (3).(7)-(5).(2) \]

$D_{23}=21-10$

$D_{23}=11 \qquad$ (menor complementar do elemento $a_{23}$)

Agora vamos calcular o Cofator $A_{23}$.

$A_{ij}=(-1)^{i+j}.D_{ij}$

$A_{23}=(-1)^{2+3}.D_{23}$

$A_{23}=(-1)^{5}.11$

$A_{23}=-11 \qquad$ (Cofator do elemento $a_{23}$)
18. Matriz de cofatores $(Cof(A))$

Chamamos de matriz dos cofatores a matriz formada por todos os cofatores de uma matriz original $A$.

Exemplo:

Seja $A$, a matriz original dada a seguir:

\[ A= \begin{bmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 5 & 7 & -4 \\ \end{bmatrix} \]

Calculandos os cofatores dos elementos da matriz $A$, encontramos:

$A_{11}=-32$

$A_{12}=32$

$A_{13}=-16$

$A_{21}=27$

$A_{22}=-13$

$A_{23}=-11$

$A_{31}=-14$

$A_{32}=-14$

$A_{33}=14$

Portanto a matriz dos cofatores associada à matriz $A$ é:

\[ Cof(A)= \begin{bmatrix} -32 & 32 & -16 \\ 27 & -13 & -11 \\ -14 & -14 & 14 \\ \end{bmatrix} \]
19. Matriz adjunta $\left( \overline{A} \right)$

É a matriz que se obtém fazendo a transposta da matriz dos cofatores $(Cof(A))$ da matriz original $A$.

Para obtermos a matriz adjunta da matriz $A$ devemos seguir os seguintes passos:

1° Calcular a matriz dos cofatores $(Cof(A))$ da matriz original $A$;

2° Obter a matriz transposta da matriz dos cofatores $\left( Cof(A)^{T} \right) \hspace{0.01em}$.

Exemplo:

Dada a matriz $A$, calcular a matriz adjunta $\overline{A}$.

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 5 & 7 & -4 \\ \end{bmatrix} \]

Calculando a matriz dos cofatores $ \left( Cof(A) \right) $ da matriz original $A$, encontramos:

\[ Cof(A) = \begin{bmatrix} -32 & 32 & -16 \\ 27 & -13 & -11 \\ -14 & -14 & 14 \\ \end{bmatrix} \]

Para calcularmos a matriz adjunta devemos fazer a matriz transposta da matriz de cofatores $Cof(A)$.

\[ \overline{A} = \begin{bmatrix} -32 & 27 & -14 \\ 32 & -13 & -14 \\ -16 & -11 & 14 \\ \end{bmatrix} \]
20. Cálculo da matriz inversa $\left( A^{-1} \right)$ com a utilização da matriz adjunta $\left( \overline{A} \right)$

Método aplicável para matrizes quadradas de 2ª ordem ou superior.

$A^{-1}=\dfrac{\overline{A}}{det(A)}$

$\overline{A}$ - matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Exemplo:

Calcular a inversa da matriz $A$ abaixo:

\[ A= \begin{bmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 5 & 7 & -4 \\ \end{bmatrix} \]

Para calcular a matriz adjunta $\overline{A}$ devemos primeiro obter a matriz de cofatores:

Calculando os cofatores dos elementos da matriz $A$, encontramos:

$A_{11} = -32$

$A_{12} = 32$

$A_{13} = -16$

$A_{21} = 27$

$A_{22} = -13$

$A_{23} = -11$

$A_{31} = -14$

$A_{32} = -14$

$A_{33} = 14$

Portanto a matriz de cofatores associada à matriz $A$ é:

\[ Cof(A) = \begin{bmatrix} -32 & 32 & -16 \\ 27 & -13 & -11 \\ -14 & -14 & 14 \\ \end{bmatrix} \]

A matriz adjunta $\overline{A}$ é a transposta da matriz de cofatores, portanto:

\[ \overline{A} = \begin{bmatrix} -32 & 27 & -14 \\ 32 & -13 & -14 \\ -16 & -11 & 14 \\ \end{bmatrix} \]

Agora calculando o $det(A)$ pela regra de Sarrus encontramos.

$det(A) = 3.6.(-4) + 2.8.5 + 5.2.7 \hspace{0.2em} – 5.6.5 \hspace{0.2em} – 7.8.3 \hspace{0.2em} – (-4).2.2$

$det(A) = -72 + 80 + 70 \hspace{0.2em} – 150 \hspace{0.2em} – 168 + 16$

$det(A) = -224$

Finalmente vamos substituir os valores encontrados na fórmula para encontrar a matriz inversa de $A$:

$A^{-1}=\dfrac{\overline{A}}{det(A)}$

\[ A^{-1}=\dfrac{ \begin{bmatrix} -32 & 27 & -14 \\ 32 & -13 & -14 \\ -16 & -11 & 14 \\ \end{bmatrix} }{-224} \]

\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 0,1428 & -0,1205 & 0,0625 \\ -0,1428 & 0,0580 & 0,0625 \\ 0,0714 & 0,0491 & -0,0625 \\ \end{bmatrix} \hspace{2em} \style{font-size: 5px; color: #4CA6FF; }{(matriz \ inversa \ de \ A)} \]
21. Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada $A$ de ordem maior ou igual a 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna (qualquer linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores $\left( A_{ij}=(-1)^{i+j}.D_{ij} \right)$.

\[ det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \]

Escolhendo a primeira coluna temos:

$det(A) = a_{11} . A_{11} + a_{21} . A_{21} + a_{31} . A_{31}$

Exemplo:

Calcular o determinante da matriz $A$ abaixo utilizando o teorema de Laplace.

\[ det(A) = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 2 \\ 5 & 1 & -4 \\ \end{vmatrix} \]

Escolhendo a primeira linha temos:

$det(A) = a_{11} . A_{11} + a_{12} . A_{12} + a_{13} . A_{13}$

Vamos calcular os cofatores $A_{11}$, $A_{12}$ e $A_{13}$.

$A_{ij}=(-1)^{i+j}.D_{ij}$

Cofator $A_{11}$

\[ A_{11} = (-1)^{1+1}.D_{11}=(-1)^{2} . \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 1 & -4 \\ \end{vmatrix} \]

$A_{11}=(1).(-26)$

$A_{11}=-26$

Cofator $A_{12}$

\[ A_{12} = (-1)^{1+2}.D_{12}=(-1)^{3} . \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 5 & -4 \\ \end{vmatrix} \]

$A_{12}=(-1).(-18)$

$A_{12}=18$

Cofator $A_{13}$

\[ A_{13} = (-1)^{1+3}.D_{13}=(-1)^{4} . \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 1 \\ \end{vmatrix} \]

$A_{13}=(1).(-28)$

$A_{12}=-28$

Agora vamos calcular o $det(A)$:

$det(A)=a_{11}.A_{11}+a_{12}.A_{12}+a_{13}.A_{13}$

$det(A) = (3).(-26)+(2).(18)+(5).(-28)$

$det(A)=-78+36-140$

$det(A)=-182$
22. Outras propriedades

$A.B \neq B.A$

$(A.B).C = A.(B.C)$

$(A + B).C = A.C + B.C$

$k.(A + B) = k.A + k.B$

$(k_{1} + k_{2}).A = k_{1}.A + k_{2}.A$

$k_{1}.(k_{2}.A) = (k_{1}.k_{2}).A$

$(A^{-1})^{-1} = A$

$(A.B)^{-1} = B^{-1}.A^{-1}$

$(I)^{-1} = I$

$(A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}$

$det(A.B) = det(A) . det(B)$

$det(A) + det(B) \neq det(A + B)$

$det(A^{-1}) = \dfrac{1}{det(A)} \qquad$ $(det(A) \neq 0)$




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