Fórmulas Números Complexos

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Números Complexos

1. Forma Retangular de um número complexo

$z = a + b.i $

$a$	$:$	parte real
$b$	$:$	parte imaginária
$i$	$:$	unidade imaginária $(i=\sqrt[]{-1})$

2. Representação gráfica de um número complexo

$a = r.cos(\theta)$

$b = r.sen(\theta)$

3. Módulo de um número complexo

$|z| = r = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}$

4. Argumento de um número complexo

$\theta = arctg \left(\frac{b}{a} \right)$

5. Forma trigonométrica de um número complexo

$z = r.[cos(\theta) + i.sen(\theta)]$

6. Forma polar de um número complexo

7. Potências de i

$i^{0} = 1 $

$i^{1} = i $

$i^{2} = -1 $

$i^{3} = -i $

$i^{4} = 1$

8. Cálculo de $ \small i^{n}$

$i^{n} = i^{r}$

Onde $r$ é o resto da divisão de $n$ por $4$.

9. Operações com números complexos

$z + w =$$ (a + b.i) + (c + d.i)=$

$(a + c) (b + d).i $

$z - w =$$ (a+b.i)-(c+d.i) =$

$(a-c)+(b-d).i$

$z.w =$$ (a+b.i).(c+d.i) =$

$(a.c-b.d)+(a.d+b.c).i$

$\dfrac{z}{w}=$$\dfrac{(a+b.i)}{(c+d.i)}=$

$\dfrac{(a.c+b.d)+(b.c-a.d).i}{c^{2}+d^{2}}$

10. Inverso de um número complexo

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a + b.i}=\dfrac{a-b.i}{a^{2} + b^{2}}$

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r[cos(\theta) + i.sen(\theta)]}=$

$\dfrac{1}{r}.[cos(- \theta) + i.sen(- \theta)]$

11. Conjugado de um número complexo

$\overline{z} = \overline{a + b.i }= a-b.i$

$\overline{z} = \overline{r.[cos(\theta)+i.sen(\theta)]} =$

$r.[cos(- \theta)+i.sen(- \theta)]$

12. Propriedades dos conjugados dos números complexos

$\overline{z+w} = \overline{z}+\overline{w}$

$\overline{z-w} = \overline{z}-\overline{w}$

$\overline{z.w} = \overline{z}.\overline{w}$

$\overline{ \left( \dfrac{z}{w} \right)} =\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} \qquad $$(w \neq 0)$

13. Propriedade dos módulos dos números complexos

$\left| z \right| = \left| \overline{z} \right|$

$\left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{ \left| z \right|} {\left| w \right|} \qquad$ $(w \neq 0)$

14. Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica

$z_{1}.z_{2}=r_{1}.r_{2}.[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i.sen(\theta_{1}+\theta_{2})] $

$z_{1}.z_{2}.z_{3} = r_{1}.r_{2}.r_{3}.[cos(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3})+i.sen(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3})] $

15. Divisão de números complexos na forma trigonométrica

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=$$ \frac{r_{1}.cos(\theta_{1})+i.sen(\theta_{1})}{r_{2}.cos(\theta_{2})+i.sen(\theta_{2})} =$

$ \frac{r_{1}}{r_{2}}.[(cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i.sen(\theta_{1}-\theta_{2})]$

16. Fórmula de De Moivre

$z^{n}=r^{n}.[cos(n\theta)+i.sen(n.\theta)]$

17. Raiz n-ésima de um número complexo

$w_{k}=\sqrt[n]{r}. \left[ cos \left(\frac{\theta+2.k.\pi}{n} \right)+i.sen \left( \frac{\theta+2.k.\pi}{n} \right) \right]$

Sendo que $0 \leq k \geq n-1$

18. Identidade de Euler

$e^{i.\theta}=cos(\theta)+i.sen(\theta)$