Uma inequação do 2° grau é a expressão que pode ser escrita numa das seguintes formas:

$ax^{2} + bx + c > 0$;

$ax^{2} + bx + c \geq 0$;

$ax^{2} + bx + c < 0$;

$ax^{2} + bx + c \leq 0$;

com $a \in \mathbb{R}^{*}$, $b$ e $c \in \mathbb{R}$.

Vamos igualar a expressão $ax^{2} + bx + c$ a zero para calcularmos as raízes $x_{1}$ e $x_{2}$.

$ax^{2} + bx + c = 0$

$x_{1}= \dfrac{-b+\sqrt[]{∆}}{2a}$

$x_{2}= \dfrac{-b-\sqrt[]{∆}}{2a}$

$∆ = b^{2} - 4ac$

Agora vamos analisar os gráficos em função do discriminante “∆” e do coeficiente “$a$”:

Para ∆ > 0 e a > 0 A equação possui duas raízes reais e distintas com concavidade para cima.

Conforme gráfico abaixo a inequação será positiva para os valores de $x$ maiores que $x_{1}$ e menores que $x_{2}$ e negativa para os valores entre $x_{2}$ e $x_{1}$. $\hspace{1em}$ ($x_{1}$>$x_{2}$)

Para ∆ > 0 e a < 0 A equação possui duas raízes reais e distintas com concavidade para baixo.

Conforme gráfico abaixo a inequação será negativa para os valores de $x$ maiores que $x_{2}$ e menores que $x_{1}$ e positiva para os valores entre $x_{1}$ e $x_{2}$. $\hspace{1em}$ ($x_{1}$<$x_{2}$)

Para ∆ = 0 e a > 0 A equação possui duas raízes reais e iguais com concavidade para cima.

Conforme gráfico abaixo a inequação será positiva para todo valor de $x$, exceto no ponto onde $x_{1}$ é igual a $x_{2}$.

Para ∆ = 0 e a < 0 A equação possui duas raízes reais e iguais com concavidade para baixo.

Conforme gráfico abaixo a inequação será negativa para todo valor de $x$, exceto no ponto onde $x_{1}$ é igual a $x_{2}$.

Para ∆ < 0 e a > 0 A equação não possui raízes reais e a concavidade é para cima.

Conforme gráfico abaixo a inequação será positiva para todo valor de $x$.

Para ∆ < 0 e a < 0 A equação não possui raízes reais e a concavidade é para baixo.

Conforme gráfico abaixo a inequação será negativa para todo valor de $x$.