Fórmulas Probabilidade

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Probabilidade

1. Experimento aleatório

É o experimento que repetido diversas vezes, nas mesmas condições, pode apresentar resultados diferentes.

Exemplo:

Lançar um dado e observar o número da face de cima.

2. Espaço amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplo:

No lançamento de uma moeda temos o seguinte espaço amostral: {cara, coroa}

3. Evento

É um subconjunto do espaço amostral.

Exemplo:

Evento A - Lançamento de um dado para obtermos um número par na face de cima:

$A = \left\{ 2, 4, 6 \right\}$ $\hspace{0.5em}$(resultados possíveis do evento A)

$S = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$ $\hspace{0.5em}$(resultados possíveis do espaço amostral)

Quando lançarmos um dado e obtivermos um número par na face de cima, afirmaremos que ocorreu o evento A.

4. Axiomas da probabilidade

1° A probabilidade tem valor máximo de 1 (100%).

2° A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral é igual a 1 (100%).

3° A probabilidade de ocorrência de um evento X, somada com a probabilidade de não ocorrência deste mesmo evento é igual a 1 (100%).

5. Fórmula de Probabilidade

$P(X) = \dfrac{n(X)}{n(S)}$

$P(X)$	$:$	Probabilidade de ocorrência do evento $X$.
$n(X)$	$:$	número de elementos do evento $X$.
$n(S)$	$:$	número de elementos do espaço amostral (resultados possíveis).

6. Cálculo da probabilidade da interseção de dois eventos independentes

Dois eventos são independentes quando a ocorrência, ou não ocorrência de um dos eventos, não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

$P(A \ e \ B)=P(A \cap B) = P(A) \ x \ P(B)$

$P(A \ e \ B)=P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}$

$n(A \cap B)$	$:$	número de elementos da interseção dos eventos $A$ e $B$.
$n(S)$	$:$	número de elementos do espaço amostral de dois experimentos aleatórios simultâneos ou sucessivos.

7. Cálculo da probabilidade da interseção de 2 eventos dependentes - Probabilidade Condicional

Dois eventos são dependentes quando a ocorrência de um dos eventos altera a probabilidade de ocorrência do outro.

$P(A \cap B) = P(A) \ x \ P(B|A)$

$P(B\|A)$	$:$	Probabilidade de $B$, dado $A$.
$P(A \cap B)$	$:$	Probabilidade de $A$ e $B$.
$P(A)$	$:$	Probabilidade de $A$.

8. Cálculo da probabilidade da União de dois eventos

Supondo dois eventos A e B, o cálculo da união das probabilidades desses eventos corresponde à ocorrência de pelo menos um deles, ou seja, pode ocorrer apenas A, ou apenas B, ou A e B.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

9. Probabilidade binomial

A probabilidade binomial é aplicável quando há repetição de um evento e para cada evento só será possível dois resultados mutuamente excludentes, ou seja, ocorrendo um deles o outro estará descartado. Um resultado do evento será denominado de sucesso e o outro de fracasso.

$P(X)= \style{color:red;}{C_{n, k}} . p^{k} . q^{(n-k)}$

$\style{color:red;}{C_{n, k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}}$

$P(X)$	$:$	probabilidade do evento $X$
$p$	$:$	probabilidade de sucesso
$q$	$:$	probabilidade de fracasso
$n$	$:$	número de elementos do evento $X$
$k$	$:$	número de sucessos do evento $X$
$(n-k)$	$:$	número de fracassos do evento $X$