Fórmulas Frações e Dízimas

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Frações e Dízimas

1. Nomenclatura de fração

$\dfrac{a}{b}$

$a:$ numerador

$b:$ denominador

2. Adição e subtração de frações com denominadores iguais

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}$

$\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}$

3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}= \dfrac{ad}{bd}+\dfrac{cb}{bd} = \dfrac{ad+cb}{bd}$

$\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}= \dfrac{ad}{bd}-\dfrac{cb}{bd} = \dfrac{ad-cb}{bd}$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}= \\ \dfrac{a \ .\dfrac{m.m.c \ (b,d)}{b}+c \ .\dfrac{m.m.c \ (b,d)}{d}}{m.m.c \ (b,d)}$

$\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}= \\ \dfrac{a \ .\dfrac{m.m.c \ (b,d)}{b}-c \ .\dfrac{m.m.c \ (b,d)}{d}}{m.m.c \ (b,d)}$

$m.m.c \ (b, d):$ mínimo múltiplo comum de $b$ e $d$

4. Multiplicação de frações

$\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

5. Divisão de frações

$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}= \dfrac{a}{b} . \dfrac{d}{c}= \dfrac{ad}{bc}$

6. Raiz quadrada e expoente de uma fração

$\sqrt[]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}}$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{x}=\dfrac{a^{x}}{b^{x}}$

7. Transformação de fração imprópria em número misto e vice-versa

Exemplo:

$\dfrac{14}{3} = 4 \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{14}{3} :$ fração imprópria

$4\mathord{\dfrac{2}{3}} :$ número misto

Transformando de fração imprópria em número misto:

Se efetuarmos a divisão de $14$ por $\style{color:DarkMagenta;}{3}$, teremos como resultado o valor $4$ e resto $2$. O resultado $\left(\style{color:Crimson;}{4} \right)$ será a parte inteira do número misto, o resto $\left( \style{color:DarkOrange;}{2} \right)$ será o numerador e o denominador $\left( \style{color:DarkMagenta}{3} \right)$ continua o mesmo:

$\dfrac{14}{\style{color:DarkMagenta;}{3}}=\style{color:Crimson;}{4}\mathord{\dfrac{\style{color:DarkOrange;}{2}}{\style{color:DarkMagenta;}{3}}}$

Transformando de número misto em fração imprópria:

Para transformar de número misto para fração imprópria basta representar a parte inteira do número misto como uma fração $($$ \style{color: Crimson;}{4}$ é a mesma coisa que $\style{color: DarkOrange;}{\frac{12}{3}} $$)$ e somar com a parte fracionária do número misto:

$\style{color:Crimson;}{4}\mathord{\style{color:DarkMagenta;}{\dfrac23}}=\style{color:DarkOrange;}{\dfrac{12}{3}}+\style{color:DarkMagenta;}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{14}{3}$

8. Transformar dízima periódica em fração

CASO 1: Se for dízima períodica simples

DEFINIÇÃO DE DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES: O período apresenta-se logo após a vírgula

$Ex1:$ $\dfrac{1}{3}=0,333...$ $\quad$ (período: 3)

$Ex2:$ $\dfrac{4}{33} = 0,1212...$ $\quad$ (período: 12)

Neste caso, para transformarmos a fração em dízima períodica, o numerador será o período e o denominador será o algarismo $9$ repetido pelo número de algarismos que o período têm.

Exemplo 1:

$0,333...=\dfrac{1}{3}$

O período é $\style{color:DarkMagenta;}{3}$. Logo o $\style{color:DarkMagenta;}{numerador}$ será o número $\style{color:DarkMagenta;}{3}$. Este período só tem 1 algarismo, logo, o $\style{color:Crimson;}{denominador}$ será o número $\style{color:Crimson;}{9 \ repetido \ uma \ vez}$ :

$\dfrac{\style{color:DarkMagenta;}{3}}{\style{color:Crimson;}{9}}=\dfrac{1}{3}$

Exemplo 2:

$0,1212...=\dfrac{4}{33}$

O período é $\style{color:DarkMagenta;}{12}$. Logo o $\style{color:DarkMagenta;}{numerador}$ será o número $\style{color:DarkMagenta;}{12}$. Este período tem 2 algarismos, logo, o $\style{color:Crimson;}{denominador}$ será o número $\style{color:Crimson;}{9 \ repetido \ duas \ vezes}$ :

$\dfrac{\style{color:DarkMagenta;}{12}}{\style{color:Crimson;}{99}}=\dfrac{4}{33}$

CASO 2: Se for dízima períodica composta

DEFINIÇÃO DE DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA: Entre a vírgula e o período existe uma parte não periódica, a qual chamamos de anteperíodo.

$Ex1:$ $ \ \dfrac{1}{45}=0,0222...$ $\quad$ (período: 2) (anteperíodo: 0)

$Ex2:$ $ \ \dfrac{2507}{9900} = 0,25323232...$ $\quad$ (período: 32) (anteperíodo: 25)

Neste caso, para transformarmos a fração em dízima períodica, o numerador será o número formado peja junção do anteperíodo com o período, diminuindo deste número o anteperíodo. O denominador será formado pelo algarismo $9$ repetido pelo número de algarismos do período em junção com o algarismo $0$ repetido pelo número de algarismos do anteperíodo.

Exemplo 1:

$ 0,0222...=\dfrac{1}{45}$

O $\style{color:DarkMagenta;}{numerador}$ será a junção do anteperíodo com o período $(02)$ diminuído do anteperíodo $(0)$. Logo, o $\style{color:DarkMagenta;}{numerador}$ será $02 - 0 = \style{color:DarkMagenta;}{2}$ . Vamos agora descobrir qual será o $\style{color:Crimson;}{denominador}$. O período só tem um algarismo, então só haverá $\hspace{0.2em} um \ 9 \hspace{0.2em}$ no $\style{color:Crimson;}{denominador}$. O anteperíodo também só tem um algarismo, então só haverá $\hspace{0.2em} um \ zero \hspace{0.2em}$ no $\style{color:Crimson;}{denominador}$. Desta forma, o $\style{color:Crimson;}{denominador}$ será $\style{color:Crimson;}{90}$, logo teremos:

$\dfrac{\style{color:DarkMagenta;}{2}}{\style{color:Crimson;}{90}}=\dfrac{1}{45}$

Exemplo 2:

$ 0,25323232...=\dfrac{2507}{9900}$

O $\style{color:DarkMagenta;}{numerador}$ será a junção do anteperíodo com o período $(2532)$ diminuído do anteperíodo $(25)$. Logo, o $\style{color:DarkMagenta;}{numerador}$ será $2532 - 25 =$ $\style{color:DarkMagenta;}{2507}$. Vamos agora descobrir qual será o $\style{color:Crimson;}{denominador}$. O período tem dois algarismos, então haverá $\hspace{0.2em} dois \ 9 \hspace{0.2em}$ no $\style{color:Crimson;}{denominador}$. O anteperíodo também tem dois algarismos, então haverá $\hspace{0.2em} dois \ zero \hspace{0.2em}$ no $\style{color:Crimson;}{denominador}$. Desta forma, o $\style{color:Crimson;}{denominador}$ será $\style{color:Crimson;}{9900}$, logo teremos:

$\dfrac{\style{color:DarkMagenta;}{2507}}{\style{color:Crimson;}{9900}}$

9. Simplificação de fração

$\dfrac{a}{b} \ = \ \dfrac{\quad \frac{a} {m.d.c \ (a, b)} \quad }{\quad \frac{b}{m.d.c \ (a, b)} \quad}$

$m.d.c \ (a, b):$ máximo divisor comum de $a$ e $b$