Fórmulas Polinômio

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Polinômio

1. Definição de polinômio

Um polinômio de grau $n$ é a função na forma:

$a_{n}.x^{n}+a_{n-1}.x^{n-1}+a_{n-2}.x^{n-2}+...+a_{2}.x^{2}+a_{1}.x+a_{0} $

$a_{n}, a_{n-1}, a_{n-2}, \ ... \ , a_{2}, a_{1}, a_{0}$	$:$	coeficientes do polinômio $\quad$ $(a_{n} \neq 0)$
$a_{n}.x^{n},a_{n-1}.x^{n-1}, \ ... \ , a_{2}.x^{2}, a_{1}.x,a_{0}$	$:$	termos do polinômio
$a_{0}$	$:$	termo independente
$x$	$:$	variável

2. Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios $P(x)$ e $D(x)$, sendo $D(x) \neq 0$ e de grau menor ou igual ao de $P(x)$. A divisão de $P(x)$ por $D(x)$ é:

$P(x)$	$:$	dividendo
$D(x)$	$:$	divisor
$Q(x)$	$:$	quociente
$R(x)$	$:$	resto

$P(x) = Q(x).D(x) + R(x)$

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3. Dispositivo de Briot-Ruffini - Divisão de polinômios por $x-a$

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4. Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio $P(x)$ pelo binômio $(x-a)$ é $P(a)$, onde a é a raiz do binômio.

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5. Teorema D'Alembert

Um polinômio $P(x)$ é divisível por $(x-a)$ se, e somente se, $P(a) = 0$.

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6. Divisão de um polinômio por $ax-b$

$ax-b = \style{color:blue;}{\left( x - \frac{b}{a} \right) . \hspace{0.1em} a} $

$P(x) = \style{color:blue;}{ \left( x - \frac{b}{a} \right) . \hspace{0.1em} a } \hspace{0.2em} .Q(x) + R(x)$

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7. Divisão de um polinômio por $(x-a).(x-b) \qquad (a \neq b)$

Se um polinômio $P(x)$ é divisível por $(x – a)$ e $(x - b)$, portanto $P(a) = 0$ e $P(b) = 0$, então $P(x)$ é divisível por $(x –a).(x – b)$. A recíproca também é verdadeira, isto é, se $P(x)$ é divisível por $(x – a).(x – b)$, então $P(x)$ é divisível por $(x – a)$ e $(x – b)$.

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8. Teorema da decomposição de um polinômio

$a_{n}.x^{n}+a_{n-1}.x^{n-1}+...+a_{2}.x^{2}+a_{1}.x+a_{0} \hspace{0.8em} = \hspace{0.8em} a_{n}. \left( x-x_{1} \right) . \left( x-x_{2} \right)... \left( x-x_{n} \right)$

onde $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ... ,$x_{n}$ são as raízes do polinômio.

9. Relações de Girard

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=- \frac{a_{n-1}}{a_{n}}$

$x_{1}.x_{2}+x_{1}.x_{3}+...+x_{n-1}.x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}}$

$x_{1}.x_{2}.x_{3}...x_{n}=(-1)^{n}.\frac{a_{0}}{a_{n}}$

onde $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ... ,$x_{n}$ são as raízes do polinômio.

10. Teorema das raízes racionais de um polinômio

Se o polinômio $P(x)= a_{n}.x^{n}+a_{n-1}.x^{n+1}+a_{n-2}.x^{n-2}+...+a_{2}.x^{2}+a^{1}.x+a_{0}$, possuir raiz racional $\frac{p}{q}$, com $p$ e $q$ primos entre si, então pode-se demonstrar que:

Se $ \hspace{0.1em} \frac{p}{q}$ é raiz de $P(x)$, então $p$ é divisor de $a_{0}$ e $q$ é divisor de $a_{n}$.$ \qquad (p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{Z}^{*})$.

Observação: Esse teorema não garante que exista a raiz $\frac{p}{q}$, mas se existir, $p$ é divisor de $a_{0}$ e $q$ é divisor de $a_{n}$.

Na prática adotamos os seguintes passos:

1° Identificamos todos os números que são divisores de $a_{0}$, que serão os possíveis valores de $p$.

2° Também vamos identificar todos os números que são divisores de $a_{n}$, que serão os possíveis valores de $q$.

3° Dividimos os valores de $p$ por $q$ $\left( \frac{p}{q} \right) $ para obtermos as possíveis raízes do polinômio.

4° As possíveis raízes deverão ser testadas no polinômio $P(x)$, e as que resultarem em $P(x) = 0$ serão as raízes do polinômio.

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11. Polinômio constante

É aquele que possui apenas o termo independente.

Ex: $P(x) = 8$

12. Polinômio identicamente nulo

É aquele em que todos os coeficientes são nulos.

Ex: $P(x) = 0.x^{3}+0.x^{2}+0.x+0$

13. Polinômios idênticos

Consideremos os polinômios:

$A(x)=a_{n}.x^{n}+a_{n-1}.x^{n-1}+a_{n-2}.x^{n-2}+...+a_{2}.x^{2}+a_{1}.x+a^{0}$

$B(x)=b_{n}.x^{n}+b_{n-1}.x^{n-1}+b_{n-2}.x^{n-2}+...+b_{2}.x^{2}+b_{1}.x+b^{0}$

Dizemos que $A(x)$ e $B(x)$ são idênticos se, e somente se, tivermos:

$a_{n}=b_{n}$

$a_{n-1}=b_{n-1}$

$a_{n-2}=b_{n-2} $

$...$

$a_{2}=b_{2}$

$a_{1}=b_{1}$

$a_{0}=b_{0}$