ent6 Polinômio: Teorema das raízes racionais de um polinômio 
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Polinômio
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Teorema das raízes racionais de um polinômio

Se o polinômio $P(x)= a_{n}.x^{n}+a_{n-1}.x^{n+1}+a_{n-2}.x^{n-2}+...+a_{2}.x^{2}+a^{1}.x+a_{0}$, possuir raiz racional $\frac{p}{q}$, com $p$ e $q$ primos entre si, então pode-se demonstrar que:
Se $ \hspace{0.1em} \frac{p}{q}$ é raiz de $P(x)$, então $p$ é divisor de $a_{0}$ e $q$ é divisor de $a_{n}$. $\quad$ $(p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{Z}^{*})$
Esse teorema não garante que exista a raiz $\frac{p}{q}$, mas se existir, $p$ é divisor de $a_{0}$ e $q$ é divisor de $a_{n}$.
Na prática adotamos os seguintes passos:
1º Identificamos todos os números que são divisores de $a_{0}$, que serão os possíveis valores de $p$.
2º Também vamos identificar todos os números que são divisores de $a_{n}$, que serão os possíveis valores de $q$.
3º Dividimos os valores de $p$ por $q$ $\left( \frac{p}{q} \right) $ para obtermos as possíveis raízes do polinômio.
4º As possíveis raízes deverão ser testadas no polinômio $P(x)$, e as que resultarem em $P(x) = 0$ serão as raízes do polinômio.
Veja o exemplo abaixo:
Calcular as raízes de $P(x) = 3x^{3} + 2x^{2} - 7x + 2$ utilizando o teorema das raízes racionais.
1º Vamos identificar todos os números que são divisores de $a_{0} \ \left( a_{0} = 2 \right) $ para encontrarmos os possíveis valores de $p$:
${±1, ±2,}$
2º Agora vamos identificar todos os números que são divisores de $a_{n} \ \left( a_{n}=3 \right) $ para encontrarmos os possíveis valores de $q$:
${±1, ±3}$
3º Dividimos os valores de $p$ por $q \ \left( \frac{p}{q} \right)$ para obtermos as possíveis raízes do polinômio:
${±1, \hspace{0.2em} ±\dfrac{1}{3}, \hspace{0.2em} ±2, \hspace{0.2em} ±\dfrac{2}{3}}$
4º Substituímos estes valores no polinômio $P(x) = 3x^{3} + 2x^{2} - 7x + 2$.
Para $x = 1$ temos:
$P(1) = 3.(1)^{3} + 2.(1)^{2} - 7.(1) + 2$

$P(1) = 3 + 2 - 7 + 2$

$P(1) = 0$, portanto $1$ é raiz do polinômio
Com a substituição de todos os valores encontramos:
$P(1) = 0;$ $ \quad P(-1) = 8; \quad $ $ P(\frac{1}{3}) = 0; $ $\quad P(\frac{-1}{3}) = \frac{40}{9}; \quad P(2) = 20;$

$P(-2) = 0; $ $ \quad P \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{-8}{9}; \quad P(\frac{-2}{3}) = \frac{20}{3}$
As raízes do polinômio são: $ \left\{ 1, \frac{1}{3}, -2 \right\} $




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