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Sistemas Lineares

1. Definição de sistema linear

Um sistema linear é um conjunto de equações do 1° grau com duas ou mais incógnitas. As soluções de um sistema de equações são os valores das incógnitas que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema.

\begin{cases} \begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & ... & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + & ... & + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m1}x_{1} & + & a_{m2}x_{2} & + & ... & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \\ \end{matrix} \end{cases}

2. Métodos de resolução de sistemas lineares

Os métodos mais comuns utilizados são:

Método da adição

Consiste na adição membro a membro das equações com a finalidade de calcular uma das variáveis.

Exemplo:

\begin{cases} x+y=8 \\ x-2y=-1 \\ \end{cases}

Vamos multiplicar por $(-1)$ a segunda equação para possibilitar a eliminação da variável $x$;

$x + y = 8$

$-x + 2y = 1$

Agora somando membro a membro as duas equações, eliminaremos a variável $x$, possibilitando o cálculo da variável $y$:

$3y = 9$; portanto $y = 3$

Vamos substituir o valor da variável $y$ na primeira equação para calcularmos a variável $x$:

$x + 3 = 8$; portanto $x = 5$

Solução: $ \ x = 5$ ; $y = 3$

Método da substituição

Esse método consiste em escolhermos uma das equações para isolarmos uma variável e substituí-la na outra equação.

Exemplo:

\begin{cases} x+2y=1 \\ 2x+y=5 \\ \end{cases}

Isolando a variável $x$ na primeira equação obtemos:

$x = 1 - 2y$

Substituindo na segunda equação para calcularmos o valor de $y$:

$2.(1 - 2y) + y = 5$

$2 \hspace{0.2em} - 4y + y = 5$

$- 4y + y = 5 \hspace{0.2em} - 2$

$-3y = 3$

$3y = -3$ ; portanto $y = -1$

Substituindo o valor de $y$ na primeira equação obteremos:

$x + 2.(-1) = 1$

$x = 1 +2$ ; portanto $x = 3$

Solução: $ \ x = 3$ ; $y = -1$

3. Regra de Cramer

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que tenham o número de equações $n$ igual ao de variáveis $n$.

Considerando o sistema linear abaixo:

\begin{cases} \begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & ... & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + & ... & + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}x_{1} & + & a_{n2}x_{2} & + & ... & + & a_{nn}x_{n} & = & b_{n} \\ \end{matrix} \end{cases}

Podemos representa-lo matricialmente na forma $A.B = C$ conforme abaixo:

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix} \]

A matriz $A$ formada com os coeficientes das equações lineares é chamada de matriz incompleta.

Para o cálculo das variáveis utilizamos a seguinte fórmula:

$x_{i} = \dfrac{det(A_{x_{i}})}{det(A)} \qquad $ ( com $i$ variando de $1$ a $n$ )

Por exemplo, para obtermos a matriz $A_{{x}_{1}}$ devemos substituir a 1ª coluna da matriz $A$, que contém os coeficientes de $x_{1}$, pela coluna da matriz $C$, que são os termos independentes das equações.

\[ A_{x_{1}} = \begin{bmatrix} b_{1} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ b_{2}& a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \hspace{2em} (\text{matriz da incógnita} \ x_{1}) \]

Exemplo 1:

Calcule o valor de $x$ e $y$ do sistema de equações abaixo:

\begin{cases} x+2y=1 \\ 2x+y=5 \\ \end{cases}

Pela regra de Cramer matricialmente temos $A.B = C$:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ \end{bmatrix} \]

$x=\dfrac{det(A_{x})}{det(A)}$

$y=\dfrac{det(A_{y})}{det(A)}$

Vamos calcular o valor do determinante da matriz incompleta:

\[ det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1.1-2.2=1-4 \]

$ \hspace{-7.8em} det(A)=-3$

A matriz $A_{x}$ é obtida com a substituição da 1ª coluna da matriz $A$, que contém os coeficientes de $x$, pela coluna da matriz $C$, que são os termos independentes das equações, portanto:

\[ A_{x} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

A matriz $A_{y}$ é obtida com a substituição da 2ª coluna da matriz $A$, que contém os coeficientes de $y$, pela coluna da matriz $C$, que são os termos independentes das equações, portanto:

\[ A_{y} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \]

Vamos calcular os determinantes $det(A_{x})$ e $det(A_{y})$.

\[ det(A_{x}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1.1-5.2=1-10 \]

$\hspace{-8.3em} det(A_{x})=-9$

\[ \hspace{-0.3em} det(A_{y}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \\ \end{vmatrix} = 1.5-2.1=5-2 \]

$\hspace{-4em} det(A_{y})=3$

$x=\dfrac{det(A_{x})}{det(A)}=\dfrac{-9}{-3}$

$x=3$

$y=\dfrac{det(A_{y})}{det(A)}=\dfrac{3}{-3}$

$y=-1$

Solução: $ \ x=3$; $y=-1$

Exemplo 2:

Calcule o valor de $x$, $y$ e $z$ do sistema de equações abaixo:

\begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x-y-3z=2 \\ 2x+y-z=1 \\ \end{cases}

Pela regra de Cramer matricialmente temos $A.B = C$: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \]

$x=\dfrac{det(A_{x})}{det(A)}$

$y=\dfrac{det(A_{y})}{det(A)}$

$z=\dfrac{det(A_{z})}{det(A)}$

Vamos calcular o determinante da matriz incompleta utilizando a regra de Sarrus:

$det(A) = 1.(-1).(-1) + 1.(-3).2 + 1.2.1 \hspace{0.2em} - 2.(-1).1 \hspace{0.2em} - 1.(-3).1 \hspace{0.2em} - (-1).2.1$

$det(A) = 1 - 6 + 2 + 2 + 3 + 2$

$det(A) = 4$

A matriz $A_{x}$ é obtida com a substituição da 1ª coluna da matriz $A$, que contém os coeficientes de $x$, pela coluna da matriz $C$, que são os termos independentes das equações, portanto:

\[ A_{x} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \]

A matriz $A_{y}$ é obtida com a substituição da 2ª coluna da matriz $A$, que contém os coeficientes de $y$, pela coluna da matriz $C$, que são os termos independentes das equações, portanto:

\[ A_{y} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \]

A matriz $A_{z}$ é obtida com a substituição da 3ª coluna da matriz $A$, que contém os coeficientes de $z$, pela coluna da matriz $C$, que são os termos independentes das equações, portanto:

\[ A_{z} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

Vamos calcular os determinantes $det(A_{x})$, $det(A_{y})$ e $det(A_{z})$.

$det(A_{x}) = 1.(-1).(-1) + 1.(-3).(1) + 1.2.(1) \hspace{0.2em} - 1.(-1).1 \hspace{0.2em} - 1.(-3).1 \hspace{0.2em} - (-1).2.1$

$det(A_{x}) = 1 - 3 + 2 + 1 + 3 + 2$

$det(A_{x}) = 6$

$det(A_{y}) = 1.2.(-1) + 1.(-3).(2) + 1.2.1 - 2.2.1 - 1.(-3).1 - (-1).2.1$

$det(A_{y}) = - 2 - 6 + 2 - 4 + 3 + 2$

$det(A_{y}) = - 5$

$det(A_{z}) = 1.(-1).1 + 1.2.2 + 1.2.1 - 2.(-1).1 - 1.2.1 - 1.2.1$

$det(A_{z}) = - 1 + 4 + 2 + 2 - 2 - 2$

$det(A_{z}) = 3$

Finalmente vamos calcular o valor de $x$, $y$ e $z$:

$x=\dfrac{det(A_{x})}{det(A)}=\dfrac{6}{4}$

$x=1,5$

$y=\dfrac{det(A_{y})}{det(A)}=\dfrac{-5}{4}$

$y=-1,25$

$z=\dfrac{det(A_{z})}{det(A)}=\dfrac{3}{4}$

$z=0,75$

Solução: $ \ x = 1,5$; $y = -1,25$; $z = 0,75$.

4. Classificação e análise de um sistema linear

De acordo com o número de soluções que um sistema possui podemos classificá-lo como:

1 - Sistema Possível (SP): Quando admite pelo menos uma solução. O sistema possível subdivide-se em:

1.1 - Sistema Possível e Determinado (SPD): Quando admite apenas uma solução.

1.2 - Sistema Possível e Indeterminado (SPI): Quando admite infinitas soluções.

2 - Sistema Impossível (SI): Quando não possui solução.

Calculando o determinante de uma matriz incompleta $(det(A))$ podemos afirmar que:

- Se o $det(A)$ for diferente de zero, o Sistema é Possível e Determinado (SPD).

- Se o $det(A)$ for igual a zero, o Sistema é Impossível (SI) ou Possível e Indeterminado (SPI). Exclui a possibilidade de ser Sistema Possível e Determinado (SPD).

5. Sistemas homogêneos

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes forem iguais a zero.

Exemplo:

\begin{cases} x+3y=0 \\ 2x+4y=0 \\ \end{cases}

\begin{cases} x+3y=0 \\ 2x+6y=0 \\ \end{cases}

Observamos que uma solução para os sistemas é $x=0$ e $y=0$, que é chamada de solução trivial, nula ou imprópria. Portanto podemos afirmar que todo sistema homogêneo é sempre possível (SP).

Analisando o primeiro sistema de equações verificamos que o determinante da matriz incompleta é diferente de zero $(det(A)= -2)$, portanto o Sistema é Possível e Determinado (SPD).

No segundo sistema de equações verificamos que o determinante da matriz incompleta é igual a zero $(det(A)= 0)$, portanto o sistema é Possível e Indeterminado (SPI).