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Radiano

Relação entre pi, radiano e grau

Alguns alunos tem dificuldade em entender a relação do número $\pi$ (pi) com radiano e grau. Este material tem por objetivo esclarecer estas dúvidas. Vamos relembrar as definições:

Pi $(\pi)$

A letra $\pi$ do alfabeto grego é utilizada para representar o resultado, sempre constante, da divisão do comprimento de qualquer circunferência (C) pelo seu respectivo diâmetro (d).

$\dfrac{C}{d} = 3,\hspace{-0.2em}14159... = \pi$

O número $\pi$ é um número irracional, não periódico, com infinitas casas decimais.

Radiano (rad):

O radiano, que é uma medida de ângulo, é a razão entre o comprimento de um arco de circunferência (L) e o seu respectivo raio (r).

L = arco
r = raio
$\alpha$ = ângulo (rad)

$\alpha = \dfrac{L}{r} \qquad$ (ângulo em radiano)

Quando L é igual a r temos:

$\alpha = 1 \ rad$

Um ângulo mede 1 radiano (1 rad) quando o comprimento do arco (L) é igual ao comprimento do raio (r).

Agora vamos calcular quantos radianos mede um arco completo de uma circunferência, isto é, quando o comprimento do arco L é igual ao comprimento C da circunferência:

A fórmula para o cálculo do comprimento C de uma circunferência é:

$C = 2. \pi . r$

Conforme a definição de radiano temos que dividir o comprimento total do arco da circunferência (C) pelo seu raio (r).

$\alpha = \dfrac{C}{r} = \dfrac{2.\pi.r}{r}$

Portanto,

$\alpha = 2.\pi = 2.3,\hspace{-0.2em}14... \approx 6,\hspace{-0.2em}28 \ rad$

Um arco total de uma circunferência mede $2\pi$ radianos $(\approx 6,\hspace{-0.2em}28 \ rad)$.

Grau

Um grau é definido como uma medida de ângulo equivalente a 1/360 de uma circunferência, portanto o ângulo em graus de uma circunferência é de 360°.

Representamos na circunferência abaixo alguns ângulos em graus e o equivalente em radianos.

Um arco completo de uma circunferência mede 360° ou $2\pi$ radianos e meio arco mede 180° ou $\pi$ radianos.

Conclusão:

O número $\pi$ é um valor constante, não é uma medida de ângulo. Quando escrevemos $\pi$ rad estamos dizendo que o ângulo é de aproximadamente 3,14 radianos. A afirmação de que "$\pi$ equivale a 180°" está errada, o correto é dizer que "$\pi$ rad equivale a 180°".

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