Fórmulas Geometria 2D: Triângulo

/ Fórmulas / Matemática /

Geometria 2D: Triângulo

1. LEGENDA

$a, b, c$	$:$	lados
$\alpha, \beta, \gamma$	$:$	ângulos
$h$	$:$	altura
$P$	$:$	perímetro
$s$	$:$	semiperímetro

2. Perímetro do triângulo

$P = a + b + c$

3. Área do triângulo

$A = \dfrac{b.h}{2}$

4. Área (fórmula de Herón)

$A = \sqrt[]{s.(s-a).(s-b).(s-c)}$

5. Teorema das áreas

$A = \dfrac{a.b.sen(\beta)}{2}$

$A = \dfrac{a.c.sen(\alpha)}{2}$

$A = \dfrac{b.c.sen(\gamma)}{2}$

6. Soma dos ângulos de um triângulo

$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

7. Desigualdade triangular

$a < b + c$

$b < a + c$

$c < a + b$

8. Ângulos externos de um triângulo

$\alpha_{1} = \beta + \gamma$

$\beta_{1} = \alpha + \gamma$

$\gamma_{1} = \alpha + \beta$

9. Classificação de triângulos pelo lado

10. Classificação de triângulos pelo ângulo

11. Congruência de triângulos

LLL (Lado, Lado, Lado): Todos os lados são congruentes.

LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dois lados congruentes com o ângulo formado entre eles também congruente.

ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dois ângulos congruentes com o lado formado entre eles também congruente.

LAA (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Lado, ângulo adjacente e ângulo oposto a este lado congruentes.

12. Semelhança de triângulos

LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados homólogos são proporcionais.

$\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}=k$

LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dois lados homólogos proporcionais e o ângulo entre estes dois lados congruente.

$\dfrac{e}{e'}=\dfrac{g}{g'}=k_{1}$

AA (Ângulo, Ângulo): Dois ângulos respectivamente congruentes.

13. Base média de um triângulo

A linha "q" é paralela à linha "a".

$q = \dfrac{a}{2}$

14. Mediana / Bissetriz interna / Mediatriz / Altura

Ceviana: Segmento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice. Veja que a mediatriz não é uma ceviana.

Mediana: É toda ceviana que tem uma das extremidades no ponto médio de um lado de um triângulo.

Bissetriz Interna: É toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e congruentes.

Altura: É toda ceviana perpendicular a um lado de um triângulo ou à sua reta suporte.

Mediatriz: É a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo.

15. Baricentro

O Baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo.

$\overline{AG} = 2. \ \overline {GM_{a}}$

$\overline{BG} = 2. \ \overline {GM_{b}}$

$\overline{CG} = 2. \ \overline {GM_{c}}$

16. Incentro

O Incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo.

17. Circuncentro

O Circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo.

18. Ortocentro

O Ortocentro é o ponto de encontro das alturas de um triângulo.

19. Lei dos cossenos

$c^{2}=a^{2}+b^{2} - 2.a.b. cos \left( \hat{C} \right) $

$b^{2}=a^{2}+c^{2} - 2.a.c. cos \left( \hat{B} \right) $

$a^{2}=b^{2}+c^{2} - 2.b.c. cos \left( \hat{A} \right) $

20. Teorema de Pitágoras

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

21. Lei dos senos

$\dfrac{a}{sen \left( \hat{A} \right) } = \dfrac{b}{sen \left( \hat{B} \right) }=\dfrac{c}{sen \left( \hat{C} \right) } = 2.r$

22. Lei das tangentes

$\dfrac{a-b}{a+b} = \dfrac{tan \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) }{ \hspace{0.5em} tan \left( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \right) \hspace{0.5em}}$

23. Relações métricas no triângulo retângulo

$b^{2}=a.m$

$c^{2}=a.n$

$h^{2}=m.n$

$b.c=a.h$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$b^{2}=m^{2}+h^{2}$

$c^{2}=n^{2}+h^{2}$

24. Relações trigonométricas no triângulo retângulo

$sen(\alpha) =\frac{cateto \ oposto}{hipotenusa}=\frac{b}{a}$

$sen(\beta) =\frac{cateto \ oposto}{hipotenusa}=\frac{c}{a}$

$cos(\alpha) =\frac{cateto \ adjacente}{hipotenusa}=\frac{c}{a}$

$cos(\beta) =\frac{cateto \ adjacente}{hipotenusa}=\frac{b}{a}$

$tg(\alpha) =\frac{cateto \ oposto}{cateto \ adjacente}=\frac{b}{c}$

$tg(\beta) =\frac{cateto \ oposto}{cateto \ adjacente}=\frac{c}{b}$

$cotg(\alpha) =\frac{1}{tg(\alpha)}=\frac{c}{b}$

$cotg(\beta) =\frac{1}{tg(\beta)}=\frac{b}{c}$

$sec(\alpha) =\frac{1}{cos(\alpha)}=\frac{a}{c}$

$sec(\beta) =\frac{1}{cos(\beta)}=\frac{a}{b}$

$cossec(\alpha) =\frac{1}{sen(\alpha)}=\frac{a}{b}$

$cossec(\beta) =\frac{1}{sen(\beta)}=\frac{a}{c}$

25. Relações no triângulo equilátero

$P = 3.a$

$h =\frac{a.\sqrt[]{3}}{2}$

$A =\frac{a.h}{2}=\frac{a^{2}.\sqrt[]{3}}{4}$

$R = \frac{2}{3}.h=\frac{a.\sqrt[]{3}}{3}$

$r =\frac{1}{3}.h=\frac{a.\sqrt[]{3}}{6}=\frac{R}{2}$

26. Relações no triângulo isósceles

$P = a+2.b$

$h = \sqrt[]{b^{2}-\frac{a^{2}}{b}}$

$A =\frac{a.h}{2}=\frac{b^{2}}{2}.sen(\alpha)$