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Matrizes e Determinantes

Tipos de Matrizes: Matriz inversa $ \left( A^{-1} \right)$

Dizemos que uma matriz quadrada $(A)$ terá uma matriz inversa $\left( A^{-1} \right)$ se o produto das duas matrizes for igual à matriz identidade $(I)$. Todas as matrizes deverão ser quadradas e de mesma ordem.

$A.A^{-1}=I$

Exemplo - Calcular a matriz inversa da matriz A abaixo:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ \end{bmatrix}$

Sabemos que as matrizes deverão ser quadradas e de mesma ordem, portanto:

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix}$

A relação entre as matrizes é:

$A.A^{-1}=I$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Realizando a multiplicação obtemos:

$\begin{bmatrix} 1.a+2.b & 1.c+2.d \\ 4.a+5.b & 4.c+5.d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Fazendo a igualdade dos elementos dessas matrizes temos:

\begin{cases} 1a+2b=1 \\ 4a+5b=0 \\ \end{cases}

\begin{cases} 1c+2d=0 \\ 4c+5d=1 \\ \end{cases}

Resolvendo os sistemas de equações acima encontramos:

$a=- \dfrac{5}{3}$

$b=\dfrac{4}{3}$

$c=\dfrac{2}{3}$

$d=-\dfrac{1}{3}$

Portanto a matriz inversa é:

$A^{-1}= \begin{bmatrix} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \style{font-size:90%; font-style: normal; font-family: verdana;}{\frac{1}{3}} \\ \end{bmatrix} $

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