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Matrizes e Determinantes

Determinante: Multiplicação de uma matriz por uma constante

Multiplicando uma matriz A de ordem n por uma constante k, o determinante da nova matriz será igual a $ \ k^{n}.det(A)$.

Vamos multiplicar a matriz $A \ (n=2)$ por $3$ e provar que o determinante da nova matriz será igual a $3^{2}.det(A)$.

$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

Multiplicando a matriz A por 3 obtemos a matriz B:

$B = \begin{bmatrix} 3.2 & 3.5 \\ 3.1 & 3.3 \\ \end{bmatrix}$

$ B = \begin{bmatrix} 6 & 15 \\ 3 & 9 \\ \end{bmatrix}$

Agora vamos provar que o $det(B) = 3^{2}.det(A) = 9.det(A)$

$det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \\ \end{vmatrix} = 2.3-1.5=6-5$

$det(A)=\style{color:Crimson}{1}$

$det(B) = \begin{vmatrix} 6 & 15 \\ 3 & 9 \\ \end{vmatrix} = 6.9-3.15=54-45$

$det(B)=\style{color:Crimson}{9} \quad$ (valor correspondente a 9 vezes o determinante de A)

Portanto o $det(B) = 9.det(A) \quad$ (conforme queríamos demonstrar)

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