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Matrizes e Determinantes

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada $A$ de ordem maior ou igual a 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna (qualquer linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores $\left( A_{ij}=(-1)^{i+j}.D_{ij} \right)$.

$det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$

Escolhendo a primeira coluna temos:

$det(A) = a_{11} . A_{11} + a_{21} . A_{21} + a_{31} . A_{31}$

Calcular o determinante da matriz A abaixo utilizando o teorema de Laplace.

$det(A) = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 2 \\ 5 & 1 & -4 \\ \end{vmatrix}$

Escolhendo a primeira linha temos:

$det(A) = a_{11} . A_{11} + a_{12} . A_{12} + a_{13} . A_{13}$

Vamos calcular os cofatores $A_{11}$, $A_{12}$ e $A_{13}$.

$A_{ij}=(-1)^{i+j}.D_{ij}$

Cofator $A_{11}$

$A_{11} = (-1)^{1+1}.D_{11}=(-1)^{2} . \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 1 & -4 \\ \end{vmatrix}$

$A_{11}=(1).(-26)$

$A_{11}=-26$

Cofator $A_{12}$

$A_{12} = (-1)^{1+2}.D_{12}=(-1)^{3} . \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 5 & -4 \\ \end{vmatrix}$

$A_{12}=(-1).(-18)$

$A_{12}=18$

Cofator $A_{13}$

$A_{13} = (-1)^{1+3}.D_{13}=(-1)^{4} . \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 1 \\ \end{vmatrix}$

$A_{13}=(1).(-28)$

$A_{12}=-28$

Agora vamos calcular o $det(A)$:

$det(A)=a_{11}.A_{11}+a_{12}.A_{12}+a_{13}.A_{13}$

$det(A) = (3).(-26)+(2).(18)+(5).(-28)$

$det(A)=-78+36-140$

$det(A)=-182$

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