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Geometria Analítica: Estudo da Reta

Demonstração da equação reduzida, coeficiente angular e linear:

Demonstração da equação reduzida:

Isolando $y$ na equação geral da reta obtemos:

$ax+by+c=0$

$by = - ax - c$

$y = \dfrac{-a}{b} x - \dfrac{c}{b} \quad$ (1)

Fazendo:

$m= \dfrac{-a}{b} \quad$ (coeficiente angular)

$q= - \dfrac {c}{b} \quad$ (coeficiente linear)

Substituindo em (1) temos:

$\colorbox{lightgreen}{$y = mx + q$} \quad $ (equação reduzida da reta)

Demonstração do coeficiente angular e linear:

Analisando a figura abaixo temos:

$tg \ \alpha = \dfrac{CB}{AC} = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \quad$ (2)

Na demonstração da equação geral da reta vimos que:

$y_{1} - y_{2} = a$

portanto,

$y_{2} - y_{1} = - a$

$x_{2} - x_{1} = b$

Substituindo em (2) temos:

$tg \ \alpha = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \dfrac{-a}{b}=m$

$\colorbox{lightgreen}{$tg \ \alpha = m$} \quad$ (coeficiente angular)

O coeficiente linear, que é a ordenada do ponto $Q$ onde a reta $r$ cruza o eixo $y$, é calculado fazendo $x=0$ na equação geral:

$ax+by+c=0$

$a.0 + by + c = 0$

$by = -c$

$y= - \dfrac{c}{b} = q$

$\colorbox{lightgreen}{$y=q$} \quad$ (coeficiente linear)

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