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Geometria Analítica: Estudo da Reta

Ângulo entre duas retas: Demonstração do 2º Caso

Uma das retas é paralela ao eixo y.

Neste caso temos as duas situações abaixo para analisar:

- Na figura 3 a reta r não tem coeficiente angular e pelo teorema do ângulo externo temos:

$\alpha = \theta_s - 90º \quad$ (1)

Se seguirmos a mesma sequência da demonstração anterior chegaremos a um impasse conforme mostrado abaixo:

$tg \ \alpha = tg(\theta_s -90º) = \dfrac{tg \ \theta_s - tg \ 90º}{1+ tg \ \theta_s . tg \ 90º}$

Mas,

$tg \ 90º = \dfrac{sen \ 90º}{cos \ 90º}=\dfrac{1}{0}= \ indefinido$

Não podemos seguir por este caminho, portanto vamos alterar a igualdade (1) acima para:

$\theta_s = 90º + \alpha$

Calculando a tangente dos ângulos temos:

$tg \ \theta_s = tg(90º+\alpha)$

Da trigonometria sabemos que:

$tg(90º+\alpha)=-cotg \ \alpha=-\dfrac{1}{tg \ \alpha}$

Logo:

$tg \ \theta_s=-\dfrac{1}{tg \ \alpha}$

Então,

$tg \ \alpha = - \dfrac{1}{tg \ \theta_s}$

Ou,

$tg \ \alpha = - \dfrac{1}{m_s}$

- Na figura 4 a reta s não tem coeficiente angular e pelo teorema do ângulo externo temos:

$\alpha = 90º - \theta_r$

$\theta_r = 90º - \alpha$

Calculando a tangente dos ângulos temos:

$tg \ \theta_r = tg(90º- \alpha)$

Da trigonometria sabemos que:

$tg(90º - \alpha) = cotg \ \alpha = \dfrac{1}{tg \ \alpha}$

Logo,

$tg \ \theta_r = \dfrac{1}{tg \ \alpha}$

Então,

$tg \ \alpha = \dfrac{1}{tg \ \theta_r}$

Ou,

$tg \ \alpha = \dfrac{1}{m_r}$

A tangente de um ângulo agudo é positivo, portanto as duas fórmulas acima podem ser escritas como:

$\colorbox{lightgreen}{$tg \ \alpha = \left| \dfrac{1}{m} \right|$}$

Onde m é o coeficiente angular da reta não paralela ao eixo y.

Exemplo

Determine o ângulo agudo formado pelas retas $r: x = 2$ e $s: y - \sqrt[]{3}x + 5 = 0$.

Observamos que a reta r: x = 2 é vertical e perpendicular ao eixo x, portanto devemos aplicar a seguinte fórmula:

$tg \ \alpha = \left| \dfrac{1}{m} \right|$

Onde m é o coeficiente angular da reta s.

Vamos determinar o coeficiente angular da reta s reescrevendo-a na forma reduzida y = mx + q:

$y - \sqrt[]{3}x + 5 = 0$

$y = \sqrt[]{3}x - 5$

Comparando com a forma reduzida da equação concluímos que:

$m_s = \sqrt[]{3}$

Aplicando a fórmula:

$tg \ \alpha = \left| \dfrac{1}{m} \right|$

$tg \ \alpha = \left| \dfrac{1}{\sqrt[]{3}} \right|$

$tg \ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt[]{3}}$

Racionalizando obtemos:

$tg \ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt[]{3}}.\dfrac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3}}$

$tg \ \alpha = \dfrac{\sqrt[]{3}}{3}$

$\alpha = arctg \ \dfrac{\sqrt[]{3}}{3}$

$\alpha = 30º$

$\alpha = 30º$

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Equação geral da reta

Equação geral da reta: Demonstração

Equação geral da reta: Exemplos e Exercícios

Equação reduzida da reta

Demonstração da equação reduzida, coeficiente angular e linear:

Demonstração da equação reduzida, coeficiente angular e linear: Exemplos e Exercícios

Equação da reta a partir de dois pontos da reta

Equação da reta a partir de dois pontos da reta: Demonstração

Equação da reta a partir de dois pontos da reta: Exemplos e Exercícios

Equação da reta a partir do coeficiente angular(m) e de um ponto

Equação da reta a partir do coeficiente angular(m) e de um ponto: Demonstração

Equação da reta a partir do coeficiente angular(m) e de um ponto $A(x_1, y_1)$ de $r$: Exemplos/Exercícios

Equação segmentária da reta

Equação segmentária da reta: Demonstração

Equação segmentária da reta: Exemplos e Exercícios

Retas horizontais e verticais

Retas paralelas

Retas coincidentes

Retas concorrentes

Ângulo entre duas retas

Ângulo entre duas retas: Demonstração do 1º Caso

Ângulo entre duas retas: Demonstração do 2º Caso

Distância de um ponto a uma reta

Distância de um ponto a uma reta: Exemplos e Exercícios