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Análise Combinatória

Exemplos e Exercícios de Análise Combinatória que usam filas

De quantas maneiras podemos dispor 4 homens e 4 mulheres em uma fila de cadeiras, sem que dois homens fiquem juntos?

Primeiro vamos identificar as posições em que os 4 homens podem sentar-se numa fila de 8 cadeiras, sem que fiquem juntos. Os espaços vazios referem-se aos lugares que serão ocupados pelas 4 mulheres.

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} H \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Agora vamos mudar a ordem dos 4 homens e das 4 mulheres nas 5 configurações acima com a aplicação da fórmula de Permutação Simples.

1ª configuração

$P_{M} = 4!$

$P_{H} = 4!$

Para calcularmos o total de maneiras dos homens e das mulheres sentarem-se nesta configuração devemos multiplicar as duas permutações.

$T_{1} = (P_{M}).(P_{H})$

$T_{1} = (4!) . (4!)$

$T_{1} = (4.3.2.1) . (4.3.2.1)$

$T_{1} = (24) . (24)$

$T_{1} = 576$

Demais configurações

Observamos que o cálculo destas configurações são idênticas à 1ª configuração portanto:

$T_{1} = T_{2} = T_{3} = T_{4} = T_{5} = 576$

Total

Para calcularmos o total geral de maneiras dos homens e das mulheres sentarem-se devemos somar os totais das 5 configurações.

$T = T_{1} + T_{2} + T_{3} + T_{4} + T_{5}$

$T = 576 + 576 + 576 + 576 + 576$

$T = 2880$

2.880 maneiras