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Análise Combinatória

Exemplos e Exercícios de Análise Combinatória que usam filas

Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas:

a) de modo arbitrário, sem restrições;
b) de modo que cada casal fique junto;
c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres.

a) de modo arbitrário, sem restrições;

Vamos identificar os casais como A, a / B, b / C, c.
Homens - A, B, C
Mulheres - a, b, c

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} A \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} a \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} B \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} b \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} C \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} c \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $

Podemos resolver esta questão de duas maneiras:

1ª Maneira:

Considerando todas as poltronas como a relação de objetos $(n)$ e as poltronas ocupadas como agrupamento $(p)$.

A alteração da ordem caracteriza um novo agrupamento.

As características acima são de um caso de Arranjo Simples.

$n = 8 \quad$ (número de poltronas)
$p = 6 \quad$ (poltronas ocupadas)

$A_{n,p} = \dfrac{n!}{(n-p)!}$

$A_{8,6} = \dfrac{8!}{(8-6)!}$

$A_{8,6} = \dfrac{(8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2!)}{2!}$

$A_{8,6} = 20160$

20.160 maneiras

2ª Maneira:

Considerando todas as poltronas como a relação de objetos $(n)$, porém vamos identificar as poltronas vazias como $V$ e $V$.

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} A \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} a \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} B \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} b \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} C \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} c \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} V \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} V \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

O agrupamento $(p)$ agora será feito com todas as poltronas ocupadas e vazias $(n=p)$.

A alteração da ordem caracteriza um novo agrupamento (exceto entre poltronas vazias).

As características acima são de um caso de Permutação com Repetição.

$n = 8 \quad$ (número de poltronas)
$p = 2 \quad$ (duas poltronas vazias)

$P_{n}^{(a)} = \dfrac{n!}{(a)!}$

$P_{8}^{(2)} = \dfrac{8!}{(2)!}$

$P_{8}^{(2)} = \dfrac{8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2!}{2!}$

$P_{8}^{(2)} = 20160$

20.160 maneiras

b) de modo que cada casal fique junto;

Vamos dividir a resolução em etapas:

1ª Etapa:

Manteremos cada casal junto com posição fixa entre o homem e a mulher, alterando apenas as posições entre casais e as poltronas vazias.

Portanto vamos considerar cinco objetos que são:

Casal A, a;
Casal B, b;
Casal C, c;
Poltrona V;
e a outra poltrona V.

$\colorbox{lightgreen}{$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} A \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} a \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $} \hspace{0.7em} $ $\colorbox{lightblue}{$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} B \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} b \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $} \hspace{0.7em} $ $\colorbox{yellow}{$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} C \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} c \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $} \hspace{0.7em} $ $\colorbox{red}{$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} V \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $} \hspace{0.7em} $ $\colorbox{RubineRed}{$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} V \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $} $

Neste caso estamos diante de uma Permutação com Repetição:

$n = 5 \quad$ (três casais e duas poltronas vazias)
$a = 2 \quad$ (duas poltronas vazias)

$P_{n}^{(a)} = \dfrac{n!}{(a!)}$

$P_{5}^{(2)} = \dfrac{5!}{(2!)}$

$P_{5}^{(2)} = \dfrac{5 . 4 . 3 . 2!}{2!}$

$P_{5}^{(2)} = 60$

2ª Etapa:

Consideramos na 1ª Etapa que cada casal ficasse junto com posição fixa entre o homem e a mulher. Agora nesta etapa vamos alterar a posição entre o homem e a mulher de cada casal.

Neste caso o resultado anterior $(60)$ deverá ser multiplicado por $3$ Permutações Simples dos 3 casais:

$T = 60.P_{1}.P_{2}.P_{3}$

$T = 60.2!.2!.2!$

$T = 60.8$

$T = 480$

480 maneiras

c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres.

Vamos dividir a resolução em etapas:

1ª Etapa:

Vamos calcular de quantas maneiras as poltronas podem ficar vazias, pois sempre teremos 3 poltronas a esquerda e 3 a direita para os homens e as mulheres.

Como a alteração da ordem das cadeiras vazias não interfere no agrupamento vamos aplicar a fórmula da Combinação Simples.

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} V \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} V \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $

$n = 8 \quad$ (número de poltronas)
$p = 2 \quad$ (agrupamento)

$C_{n,p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

$C_{8,2} = \dfrac{8!}{2!(8-2)!}$

$C_{8,2} = \dfrac{8 . 7 . 6!}{2! . 6!}$

$C_{8,2} = \dfrac{8 . 7}{2 . 1}$

$C_{8,2} = 28$

2ª Etapa:

Vamos calcular o caso em que os 3 homens ficam a esquerda e as 3 mulheres a direita. Neste caso vamos multiplicar o resultado anterior $(28)$ pela permutação dos 3 homens e pela permutação das 3 mulheres.

$T_{1} = 28.P_{H}!.P_{M}!$

$T_{1} = 28.3!.3!$

$T_{1} = 1008$

3ª Etapa:

Agora vamos calcular o caso em que as 3 mulheres ficam a esquerda e os 3 homens a direita. Neste caso vamos multiplicar o resultado anterior $(28)$ pela permutação das 3 mulheres e pela permutação dos 3 homens.

$T_{1} = 28.P_{M}!.P_{H}!$

$T_{1} = 28.3!.3!$

$T_{1} = 1008$

Juntando os resultados da 2ª e 3ª etapas:

Para calcularmos o total geral das maneiras dos homens e das mulheres sentarem-se, de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres, devemos somar os dois totais acima.

$T = T_{1}+T_{2}$

$T = 1008 + 1008$

$T = 2016$

2.016 maneiras

Resumo de todos os resultados:

a) 20.160 maneiras
b) 480 maneiras
c) 2.016 maneiras