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Análise Combinatória

Exemplos e Exercícios de Análise Combinatória com números

Exemplo 8 - Quantos números são possíveis formar com 3 algarismos distintos, sendo que o último algarismo é par?

Veja que temos duas restrições neste problema:

Primeira Restrição: Por ser um número que queremos formar, o 1º algarismo não pode ser zero.
Segunda Restrição: O último algarismo tem que ser par.

Vamos resolver o problema de duas maneiras. Uma maneira começando pelo 1º algarismo e a outra começando pelo 3º algarismo. Veremos que obteremos o mesmo resultado.

Resolvendo o problema começando pelo 1º algarismo:

Se o 1º algarismo for par ou ímpar, isto irá afetar o número de possibilidades para o 3º algarismo.

Também se o 2º algarismo por par ou ímpar irá afetar o número de possibilidades do 3º algarismo.

Logo, vamos separar o problema em casos:

Caso que o 1º e 2º algarismos são pares:

Passo 1:

Para o 1º algarismo temos $4$ possibilidades (2,4,6,8):

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $

Passo 2:

Para o 2º algarismo temos 5 possibilidades menos o algarismo par já escolhido no Passo 1, logo temos $4$ possibilidades:

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $

Passo 3:

Para o 3º algarismo temos 5 possibilidades, menos os dois algarismos pares escolhidos nos passos anteriores, logo temos $3$ possibilidades:

Pelo Princípio Multiplicativo temos $5.4.3 = 60$ possibilidades.

Fazendo os cálculos para cada um dos casos teremos:

Pelo Princípio da Adição, temos: $48 + 80 + 100 + 100 = 328$ números.

Resolvendo o problema começando pelo 3º algarismo:

Se o 3º algarismo for zero ou não, isto irá afetar o número de possibilidades para o 1º algarismo.

Também se o 2º algarismo for zero ou não, isto irá afetar o número de possibilidades do 1º algarismo.

Logo, vamos separar o problema em casos:

Caso que o 3º e 2º algarismos são zeros:

Passo 1:

Para o 3º algarismo temos $1$ possibilidades:

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 1 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Passo 2:

Para o 2º algarismo temos 1 possibilidade, que é o número zero, só que ele já foi utilizado no 3º algarismo, logo há $0$ possibilidades, ou seja, este caso é impossível.

Caso que o 3º algarismo é zero e o 2º algarismo não é zero:

Passo 1:

Para o 3º algarismo temos $1$ possibilidades:

Passo 2:

Para o 2º algarismo, como ele não pode ser zero neste caso, temos $9$ possibilidades:

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 9 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 1 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Passo 3:

Para o 1º algarismo, primeiramente, como ele não pode ser zero, temos 9 possibilidades, o zero foi escolhido no 3º algarismo, isto não altera as possibilidades do 1º algarismo. Um algarismo foi escolhido para o 2º lugar, logo teremos $8$ possibilidades para o 1º algarismo.

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 8 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 9 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 1 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Pelo Princípio Multiplicativo, temos $8.9.1 = 72$ possibilidades

Caso que o 3º algarismo não é zero e o 2º algarismo é zero:

Passo 1:

Para o 3º algarismo temos $4$ possibilidades (2,4,6,8):

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Passo 2:

Para o 2º algarismo temos $1$ possibilidade (o número zero):

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 1 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Passo 3:

Para o 1º algarismo, primeiramente, como ele não pode ser zero, temos 9 possibilidades, o zero foi escolhido no 2º algarismo, isto não altera as possibilidades do 1º algarismo. Um algarismo foi escolhido para o 3º lugar, logo teremos $8$ possibilidades para o 1º algarismo.

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 8 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 1 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Pelo Princípio Multiplicativo, temos $8.1.4 = 32$ possibilidades

Caso que o 3º algarismo não é zero e o 2º algarismo também não é zero:

Passo 1:

Para o 3º algarismo temos $4$ possibilidades (2,4,6,8):

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Passo 2:

Para o 2º algarismo temos 9 possibilidades (ele não pode ser o zero) menos o algarismo já escolhido para o 3º lugar, logo, temos $8$ possibilidades:

$ \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 8 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Passo 3:

Para o 1º algarismo, primeiramente, como ele não pode ser zero, temos 9 possibilidades, Um algarismo foi escolhido para o 3º lugar, e outro algarismo para o 2º lugar e nenhum deles foi o zero, logo teremos $7$ possibilidades para o 1º algarismo:

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 7 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 8 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $

Pelo Princípio Multiplicativo, temos $7.8.4 = 224$ possibilidades

Resumindo, para cada um dos casos teremos: