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Análise Combinatória

Exemplos e Exercícios de Análise Combinatória com números

Exemplo 6 - Quantas senhas são possíveis formar com 3 algarismos distintos, sendo que o último algarismo é par?

Se os 1º ou 2º algarismo forem par ou ímpar, isto irá afetar o número de possibilidades para o 3º algarismo. Veja os exemplos abaixo:

1º algarismo = 5 (número ímpar)
2º algarismo = 7 (número ímpar)
3º algarismo $\rightarrow$ teremos 5 possibilidades (0,2,4,6 ou 8)

1º algarismo = 4 (número par)
2º algarismo = 7 (número ímpar)
3º algarismo $\rightarrow$ teremos 4 possibilidades (0,2,6 ou 8)

1º algarismo = 3 (número ímpar)
2º algarismo = 8 (número par)
3º algarismo $\rightarrow$ teremos 4 possibilidades (0,2,4 ou 6)

1º algarismo = 2 (número par)
2º algarismo = 4 (número par)
3º algarismo $\rightarrow$ teremos 3 possibilidades (0, 6 ou 8)

Vamos separar o problema em duas partes para se o 1º algarismo é par ou ímpar, depois, iremos separar cada parte novamente em duas partes para se o 2º algarismo é par ou ímpar:

Caso que o 1º e 2º algarismos são pares:

Passo 1:

Para o 1º algarismo temos $5$ possibilidades (0,2,4,6,8):

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $

Passo 2:

Para o 2º algarismo temos 5 possibilidades, menos o algarismo par que já foi escolhido no Passo 1, logo temos $4$ possibilidades:

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $

Passo 3:

Para o 3º algarismo temos 5 possibilidades, menos os dois algarismos pares escolhidos nos passos anteriores, logo temos $3$ possibilidades:

Pelo Princípio Multiplicativo temos $5.4.3 = 60$ possibilidades.

Fazendo os cálculos para cada um dos casos teremos: