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Análise Combinatória

Exemplos e Exercícios de Análise Combinatória com números

Exemplo 5 - Quantas senhas são possíveis formar com 2 algarismos distintos, sendo que o 2º algarismo é par?

Resolvendo do jeito que resolvemos o exercício anterior, encontraremos uma resposta errada. Vamos entender o porquê.

Resolvendo a questão do jeito errado:

Passo 1:

Para o 1º algarismo temos $10$ possibilidades:

$\underline{\hspace{0.6em} 10 \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}}$

Passo 2:

Para o 2º algarismo temos 5 possibilidades (0,2,4,6,8), menos o algarismo que foi escolhido no Passo 1, logo, temos $4$ possibilidades.

$\underline{\hspace{0.6em} 10 \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}}$

Pelo Princípio Multiplicativo teríamos $10.4 = 40$ senhas.

A solução acima está errada, pois não sabemos se no Passo 1 foi escolhido um número par ou um número ímpar.

Podemos contornar este problema dividindo a questão em duas partes:

Parte 1 - O 1º algarismo é par:

Passo 1:

Para o 1º algarismo temos $5$ possibilidades (0,2,4,6,8):

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}}$

Passo 2:

Para o 2º algarismo temos 5 possibilidades, menos o algarismo par que já foi escolhido no Passo 1, logo temos $4$ possibilidades:

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}}$

Pelo Princípio Multiplicativo temos $5.4 = 20$ senhas que começam com um número par.

Parte 2 - O 1º algarismo é ímpar:

Passo 1:

Para o 1º algarismo temos $5$ possibilidades (1,3,5,7,9)

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}}$

Passo 2:

Para o 2º algarismo veja que ele é par, logo só pode ser 0,2,4,6 ou 8. Como somente 1,3,5,7 ou 9 foi escolhido para o 1º algarismo, então, ainda temos $5$ possibilidades para o 2º algarismo:

$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}}$

Pelo Princípio Multiplicativo temos $5.5 = 25$ senhas que começam com um número ímpar.

Agora juntando as partes 1 e 2 através do Princípio da Adição, teremos $20+25 = 45$ senhas.

45 senhas