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Sistemas Lineares

Regra de Cramer

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que tenham o número de equações $n$ igual ao de variáveis $n$.

Considerando o sistema linear abaixo:

$\begin{cases} \begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & ... & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + & ... & + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}x_{1} & + & a_{n2}x_{2} & + & ... & + & a_{nn}x_{n} & = & b_{n} \\ \end{matrix} \end{cases}$

Podemos representa-lo matricialmente na forma $A.B = C$ conforme abaixo:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}$

A matriz $A$ formada com os coeficientes das equações lineares é chamada de matriz incompleta.

Para o cálculo das variáveis utilizamos a seguinte fórmula:

$x_{i} = \dfrac{det(A_{x_{i}})}{det(A)}$

com i variando de 1 a n

Por exemplo, para obtermos a matriz $A_{{x}_{1}}$ devemos substituir a 1ª coluna da matriz $A$, que contém os coeficientes de $x_{1}$, pela coluna da matriz $C$, que são os termos independentes das equações.

$A_{x_{1}} = \begin{bmatrix} b_{1} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ b_{2}& a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$

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