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Radiciação
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Propriedades das Raízes: Divisão de raízes de índices diferentes

A divisão de raízes de índices n e m com radicandos a e b respectivamente, é igual a raíz de indice n.m com o radicando sendo a divisão de a elevado ao expoente m e b elevado ao expoente n.
$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[n.m]{\dfrac{a^{m}}{b^{n}}} \quad$ $(b \neq 0 )$
Demonstração
A divisão das raízes abaixo:
$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}$
Pode ser representada como a divisão de potências:
$\dfrac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{m}}}$
Vamos multiplicar por m o numerador e o denominador do expoente de a e por n o numerador e o denominador do expoente de b, portanto temos:
$\dfrac{a^{\frac{m}{n.m}}}{b^{\frac{n}{n.m}}}$
Representando a divisão das potências acima como divisão de raízes temos:
$\dfrac{\sqrt[n.m]{a^{m}}}{\sqrt[n.m]{b^{n}}}$
Aplicando a regra da divisão de potências de índices iguais temos:
$\sqrt[n.m]{\dfrac{a^{m}}{b^{n}}} \quad$ (conforme queríamos demonstrar)

$\dfrac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[]{5}} = \dfrac{3^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{3^{\frac{2.1}{2.3}}}{5^{\frac{1.3}{2.3}}} = \dfrac{3^{\frac{2}{6}}}{5^{\frac{3}{6}}} = \sqrt[6]{\dfrac{3^{2}}{5^{3}}} = \sqrt[6]{\dfrac{9}{125}}$




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