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Radiciação

Propriedades das Raízes: Produto de raízes de índices diferentes

O produto de raízes de índices n e m com radicandos a e b respectivamente, é igual a raíz de indice n.m com o radicando sendo o produto de a elevado ao expoente m e b elevado ao expoente n.

$\sqrt[n]{a} . \sqrt[m]{b} = \sqrt[n.m]{a^{m}.b^{n}}$

Demonstração

O produto das raízes abaixo:

$\sqrt[n]{a} . \sqrt[m]{b}$

pode ser representado como o produto de potências:

$a^{\frac{1}{n}} . b^{\frac{1}{m}}$

Vamos multiplicar por m o numerador e o denominador do expoente de a e por n o numerador e o denominador do expoente de b, portanto temos:

$a^{\frac{m}{n.m}} . b^{\frac{n}{n.m}}$

Representando a multiplicação das potências acima como multiplicação de raízes temos:

$\sqrt[n.m]{a^{m}} . \sqrt[n.m]{b^{n}}$

Aplicando a regra da multiplicação de potências de índices iguais temos:

$\sqrt[n.m]{a^{m}.b^{n}} \quad$ (conforme queríamos demonstrar)

$\sqrt[3]{2} . \sqrt[4]{3} = 2^{\frac{1}{3}} . 3^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{4}{3.4}} . 3^{\frac{3}{3.4}} = \sqrt[3.4]{2^{4}} . \sqrt[3.4]{3^{3}} = \sqrt[3.4]{2^{4}.3^{3}} = \sqrt[12]{16.27} = \sqrt[12]{432}$

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