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Progressão Aritmética (PA)

Soma dos n termos de uma P.A. finita $(S_{n})$: Conceito

Considere $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n})$ como sendo uma P.A. de razão $r$. A soma dos termos dessa P.A. será dada por:

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n-1} + a_{n} \quad $$(1)$

Podemos escrever a equação acima alterando a ordem dos fatores.

$S_{n} = a_{n} + a_{n-1} + ... + a_{2} + a_{1} \quad $$(2)$

Agora somando membro a membro as equações $(1)$ e $(2)$ temos:

$2S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n-1}) + ... + (a_{n-1} + a_{2}) + (a_{n} + a_{1})$

A soma de dois termos equidistantes de uma P.A. sempre serão iguais, portanto:

$a_{1} + a_{n} \ = \ a_{2} + a_{n-1} \ = \ ... \ = \ a_{n-1} + a_{2} \ = \ a_{n} + a_{1}$

Como a soma ocorre $n$ vezes podemos escrever:

$2S_{n} = (a_{1} + a_{n}) . n$

$\colorbox{lightgreen}{$S_{n} = \left( \dfrac{a_{1} + a_{n}}{2} \right) . n$}$

$a_{1}$	:	é o primeiro termo da P.A.
$n$	:	é o número de termos a serem somados
$a_{n}$	:	é o último termo a ser somado

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