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Logaritmo

Mudança de Base

Fórmula da mudança de base de um logaritmo:

$log_{a} \left( b \right) = \dfrac{log_{c}(b)}{log_{c}(a)}$

Demonstração:

Digamos que:

$log_{a}(b)=x$
$log_{c}(b)=y$
$log_{c}(a)=z$

Então:

$log_{a}(b)=x \quad \rightarrow a^{x}=b$
$log_{c}(b)=y \quad \rightarrow c^{y}=b$
$log_{c}(a)=z \quad \rightarrow c^{z}=a$

Se elevarmos os dois lados da igualdade $c^{z}=a$ à $x$ teremos:

$ \left( c^{z} \right)^{x} = a^{x}$

Conforme definimos acima:

$a^{x} = b$

E também:

$b = c^{y}$

Logo:

$ \left( c^{z} \right)^{x} = a^{x} = b = c^{y} $

Desta forma:

$ \left( c^{z} \right)^{x} = c^{y} $

$ c^{z.x} = c^{y} $

$\colorbox{lightblue}{$z.x = y$}$

$\colorbox{lightblue}{$x= \dfrac{y}{z}$}$

$\colorbox{lightblue}{$log_{a} \left( b \right) = \dfrac{log_{c}(b)}{log_{c}(a)}$}$

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