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Geometria Analítica: Estudo da Circunferencia

Posições relativas entre ponto e circunferência: Exemplos e Exercícios

Verifique a posição dos pontos P(8,2), Q(1, 2) e R(3, 4) em relação à circunferência de equação $x^{2} + y^{2} - 10x + 4y + 20 = 0$.

Comparando os coeficientes da equação geral da circunferência com a equação dada temos:

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$

$4x^2 + y^2 - 10x + 4y + 20 = 0$

Coeficiente do termo que possui a incógnita x:

$-2a = -10$

$2a=10$

$a=5$

Coeficiente do termo que possui a incógnita y:

$-2b = 4$

$2b=-4$

$b=-2$

Como a = 5 e b = -2 então o centro da circunferência é C(5, -2)

Termo independente:

$(a^{2}+b^{2}-r^{2})=20$

Substituindo os valores de a e b temos:

$5^{2}+(-2)^{2}-r^{2}=20$

$25+4-r^{2}=20$

$-r^{2}=20-25-4$

$-r^{2}=-9$

$r^{2}=9$

$r=3$

Temos o centro C(5, -2) e o raio (r = 3) da circunferência. Agora vamos calcular as distâncias do centro até os pontos P(8,2); Q(2, -2) e R(3,-2).

Cálculo da distância $(d_{CP})$ entre C(5, -2) e P(8, 2):

$d_{CP}=\sqrt[]{(x_{c}-x_{p})^{2}+(y_{c}-y_{p})^{2}}$

$d_{CP}=\sqrt[]{(5-8)^{2}+(-2-2)^{2}}$

$d_{CP}= \sqrt[]{(-3)^{2}+(-4)^{2}}$

$d_{CP}= \sqrt[]{25}$

$d_{CP}=5$

Como $d_{CP} > r$, o ponto P é externo à circunferência.

Cálculo da distância $(d_{CQ})$ entre $C(5, -2)$ e $Q(2, -2)$:

$d_{CQ}=\sqrt[]{(x_{c}-x_{q})^{2}+(y_{c}-y_{q})^{2}}$

$d_{CQ}=\sqrt[]{(5-2)^{2}+[(-2-(2)]^{2}}$

$d_{CQ}= \sqrt[]{(3)^{2}+(-2+2)^{2}}$

$d_{CQ}=\sqrt[]{(3)^{2}+(0)^{2}}$

$d_{CQ}= \sqrt[]{9}$

$d_{CQ}=3$

Como $d_{CQ} = r$, o ponto P pertence à circunferência.

Cálculo da distância $(d_{CR})$ entre $C(5, -2)$ e $R(3, -2)$:

$d_{CR}=\sqrt[]{(x_{c}-x_{r})^{2}+(y_{c}-y_{r})^{2}}$

$d_{CR}=\sqrt[]{(5-3)^{2}+[(-2-(2)]^{2}}$

$d_{CR}= \sqrt[]{(2)^{2}+(-2+2)^{2}}$

$d_{CR}=\sqrt[]{(2)^{2}+(0)^{2}}$

$d_{CR}= \sqrt[]{4}$

$d_{CR}=2$

Como $d_{CR} < r$, o ponto P é interno à circunferência.

Como $d_{CP} > r$, o ponto P é externo à circunferência
Como $d_{CQ} = r$, o ponto P pertence à circunferência
Como $d_{CR} < r$, o ponto P é interno à circunferência

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Equação reduzida da circunferência

Equação reduzida da circunferência: Demonstração

Equação reduzida da circunferência: Exemplos e Exercícios

Equação geral da circunferência

Equação geral da circunferência: Exemplos e Exercícios

Posições relativas entre ponto e circunferência

Posições relativas entre ponto e circunferência: Exemplos e Exercícios

Posições relativas entre reta e circunferência

Posições relativas entre reta e circunferência: Exemplos e Exercícios