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Geometria Analítica: Estudo da Circunferencia

Posições relativas entre reta e circunferência: Exemplos e Exercícios

Verifique a posição relativa entre as retas s: x - 2y -1 = 0, t: x + y - 1 = 0 e u: -x - y - 2 = 0 em relação à circunferência $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 12 = 0$.

Reta s em relação à circunferência:

Vamos montar um sistema com a equação da reta s e a da circunferência:

$x-2y-1=0 \ \ $(1)

$x^{2}+y^{2}-8x+2y+12=0 \ \ $(2)

Isolando x na equação (1) temos:

$x=2y+1$

Vamos substituir o valor de x na equação (2):

$(2y + 1)^{2} + y^{2} - 8(2y +1) + 2y + 12 = 0$

$(2y)^{2} + 2.2y.1 + 12 + y^{2} -16y - 8 + 2y + 12 = 0$

$4y^{2} + 4y + 1+ y^{2} - 16y - 8 + 2y + 12 = 0$

$5y^{2} - 10y + 5 = 0$

dividindo por 5...

$y^{2} - 2y + 1 = 0$

Resolvendo a equação do 2º grau temos:

$\Delta = b^{2} -4ac$

$\Delta = (-2)^{2}-4.1.1$

$\Delta = 0$

$x=\dfrac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a}$

$x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt[]{0}}{2.1}$

$x=\dfrac{2 \pm 0}{2}$

$x'=x''=1$

Conclusão: a reta s é tangente à circunferência.

Reta t em relação à circunferência:

Vamos montar um sistema com a equação da reta t e a da circunferência:

$x+y-1=0 \ \ $ (1)

$x^{2}+y^{2}-8x+2y+12=0 \ \ $(2)

Isolando x na equação (1) temos:

$x=-y+1$

Vamos substituir o valor de x na equação (2):

$(-y+1)^{2}+y^{2}-8(-y+1)+2y+12=0$

$(-y)^{2}+2.(-y).1+1^{2}+y^{2}+8y-8+2y+12=0$

$y^{2}-2y+1+y^{2}+8y-8+2y+12=0$

$2y^{2}+8y+5=0$

Resolvendo a equação do 2º grau temos:

$ \Delta = b^{2}-4ac$

$ \Delta = (8)^{2}-4.2.5$

$ \Delta = 64-40$

$ \Delta = 24 $

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a}$

$x = \dfrac{-8 \pm \sqrt[]{24}}{2.2}$

$x = \dfrac{-8 \pm \sqrt[]{2^{2}.2.3}}{4}$

$x = \dfrac{-8 \pm 2\sqrt[]{2.3}}{4}$

$x = \dfrac{-8 \pm 2\sqrt[]{6}}{4}$

simplificando por 2...

$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt[]{6}}{2}$

$x' = \dfrac{-4 + \sqrt[]{6}}{2}$

$x'' = \dfrac{-4 - \sqrt[]{6}}{2}$

Conclusão: A reta t é secante, pois corta a circunferência em dois pontos.

Reta u em relação à circunferência:

Vamos montar um sistema com a equação da reta u e a da circunferência:

$-x-y-2=0 \ \ $ (1)

$x^{2} +y^{2} -8x+2y+12=0 \ \ $ (2)

Isolando x na equação (1) temos:

$x=-y-2$

Vamos substituir o valor de x na equação (2):

$(-y -2)^2 + y^2 - 8(-y -2) + 2y + 12 = 0$

$(-y)^2 - 2.(-y).2 + 2^2 + y^2 + 8y + 16 + 2y + 12 = 0$

$y^2 + 4y + 4 + y^2 + 8y + 16 + 2y + 12 = 0$

$2y^2 + 14y + 32 = 0$

dividindo por 2...

$y^2 + 7y + 16 = 0$

Resolvendo a equação do 2º grau temos:

$\Delta = b^2 -4ac$

$ \Delta = (7)^2 -4.1.16$

$ \Delta = 49-64$

$ \Delta = -15$

Como $ \Delta < 0$ a equação não possui raízes no campo real.

Conclusão: A reta u é externa à circunferência.

A reta s é tangente, pois toca a circunferência em um ponto.
A reta t é secante, pois corta a circunferência em dois pontos.
A reta u é externa, pois não intercepta a circunferência em nenhum ponto.

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Equação reduzida da circunferência

Equação reduzida da circunferência: Demonstração

Equação reduzida da circunferência: Exemplos e Exercícios

Equação geral da circunferência

Equação geral da circunferência: Exemplos e Exercícios

Posições relativas entre ponto e circunferência

Posições relativas entre ponto e circunferência: Exemplos e Exercícios

Posições relativas entre reta e circunferência

Posições relativas entre reta e circunferência: Exemplos e Exercícios