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Paralelogramo

Relação entre as diagonais e os lados de um paralelogramo

A relação é deduzida a partir do teorema de Pitágoras conforme abaixo:

Considerando o triângulo retângulo ABE temos:

$a^2 = h^2 + x^2$

$h^2 = a^2 - x^2 \quad$ (1)

Considerando o triângulo retângulo EBD temos:

$d_{1}^{2} = h^2 + (b-x)^2 \quad$ (2)

Agora considerando o triângulo retângulo ACF temos:

$d_{2}^{2} = h^2 + [ x + (b-x) + x)]^2$

$d_{2}^{2} = h^2 + [2x + b -x]^2$

$d_{2}^{2} = h^2 + (b+x)^2 \quad$ (3)

Substituindo (1) em (2) temos:

$d_{1}^{2} = a^2 -x^2 + (b-x)^2$

$d_{1}^{2} = a^2 -x^2 +b^2 -2bx + x^2$

$d_{1}^{2} = a^2 + b^2 -2bx \quad$ (4)

Substituindo (1) em (3) temos:

$d_{2}^{2} = a^2 -x^2 + (b+x)^2$

$d_{2}^{2} = a^2 - x^2 + b^2 +2bx + x^2$

$d_{2}^{2} = a^2 + b^2 +2bx \quad$ (5)

Agora somando (4) com (5) temos:

$d_{1}^{2}$ $= $$a^2$ $+b^2$ $\cancel{-2bx}$ $\quad$ (4)

$d_{2}^{2}$ $=$ $a^2$ $+b^2$ $\cancel{+2bx}$ $\quad$ (5)

$d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$ $=$ $2.a^2$ $+2.b^2$

$\colorbox{lightgreen}{$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2.(a^2 + b^2 )$}$

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Definição de Paralelogramo

Área de um Paralelogramo

Área de um Paralelogramo: Exemplo

Perímetro de um Paralelogramo

Relação entre as diagonais e os lados de um paralelogramo

Relação entre as diagonais e os lados de um paralelogramo: Exemplo